Estimación puntual y por intervalos: estimadores, propiedades y niveles de confianza

Fundamentos de la Estimación Estadística

Se denomina estimador θ̂ de θ a un estadístico θ̂ = θ̂(x₁, ..., xₙ) que proporciona un valor aproximado del parámetro desconocido θ. Se obtiene un solo valor o punto como estimación del parámetro poblacional de interés.

Propiedades de un Buen Estimador

• Insesgabilidad: Ocurre cuando su valor esperado es igual al parámetro θ, es decir, E(θ̂) = θ.
• Consistencia: Se cumple si θ̂ converge en probabilidad hacia θ cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.
• Criterio de Eficiencia: Una estimación es más eficiente que otra si la varianza del primero es menor que la varianza del segundo: D²(θ̂₁) < D²(θ̂₂).
• Suficiencia: Un estimador es suficiente si aporta tanta información como sea posible acerca del parámetro.

Métodos de Estimación

Método de los Momentos

Consiste en igualar los momentos apropiados de la distribución de la población con los correspondientes momentos muestrales para estimar un parámetro desconocido de la distribución.

Estimación Puntual

Consiste en la selección de una función de la muestra que mejor represente al parámetro que se estima. El mérito de la estimación puntual es que proporciona un número como valor aproximado del parámetro; sin embargo, esta característica es también su limitación, ya que no ofrece información sobre cuán próximo se encuentra el estimador del parámetro desconocido (no suministra información acerca de la precisión).

Estimación por Intervalos

Una estimación por intervalos de un parámetro poblacional θ es un intervalo de la forma θ̂₁ < θ < θ̂₂, donde θ̂₁ y θ̂₂ dependen del valor del estadístico θ̂ para una muestra particular y también de la distribución muestral de θ̂.

Conceptos Clave

• Confianza: Se define como una cantidad que está entre 0 y 1, expresada frecuentemente como porcentaje: (1 - α) · 100.
• Coeficiente de Confianza: 1 - α nos brinda la medida de precisión que estamos buscando.
• Nivel de Significancia: α indica el riesgo de error (0 < α < 1).
• Longitud del Intervalo (L): L = θ̂₂ - θ̂₁. Es deseable que 1 - α sea grande y L pequeño para significar mayor precisión.

Es necesario buscar un término medio para un tamaño muestral n fijo. Se puede aumentar 1 - α tanto como se quiera y mantener L acotada siempre que n sea suficientemente grande. La estimación puntual y por intervalos están relacionadas, pues los estimadores de los intervalos de confianza se basan en estimadores puntuales.

Valores Usuales