Fundamentos de Estática y Dinámica de Rotación: Fórmulas y Conceptos Clave

Estática y Torque de una Fuerza

Torque de una fuerza (vectorial):

τ = r × F

Módulo: τ = rF senθ

Condiciones de Equilibrio

Condición de equilibrio traslacional:

Σ F = 0 (ΣF_x=0, ΣF_y=0, ΣF_z=0)

Condición de equilibrio rotacional (respecto a cualquier punto):

Σ τ = 0

Torque de un Par de Fuerzas

Torque de un par:

τ_par = F · d (donde d es la distancia entre las líneas de acción de las fuerzas).

Rozamiento

Rozamiento estático máximo:

f_s ≤ μ_sN

Práctico 9 — Cinemática de la Rotación

Velocidad angular:

ω = dθ/dt

Aceleración angular:

α = dω/dt

Cinemática Rotacional con α Constante

Estas ecuaciones son análogas al Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA):

• ω = ω₀ + αt
• θ = ω₀t + ½αt²
• ω² = ω₀² + 2αθ

Relación entre Magnitudes Lineales y Angulares

• Velocidad tangencial: v = Rω
• Aceleración tangencial: a_t = Rα
• Aceleración centrípeta: a_c = Rω² = v²/R

Momento de Inercia

Momento de inercia (sistema discreto):

I = Σ m_i r_i²

Momento de inercia (distribución continua):

I = ∫ r² dm

Teorema de Steiner (ejes paralelos):

I_eje = I_cm + M d²

Práctico 10 — Dinámica de la Rotación

Segunda ley de Newton para la rotación:

Στ = Iα

Energía y Trabajo en Rotación

Energía cinética de rotación pura:

K_rot = ½ Iω²

Energía cinética total en rodadura (traslación + rotación):

K = ½ m v² + ½ I_cm ω²

Trabajo realizado por un torque:

W = ∫ τ dθ (Si τ es constante: W = τ · Δθ)

Potencia en rotación:

P = τω

Conservación de energía incluyendo rotación:

K_i + U_i = K_f + U_f (donde K = K_tras + K_rot)

Condiciones de Rodadura

Condición de rodar sin deslizar:

v = Rω ; a_cm = Rα

Condición de rodadura sin deslizar al pasar de deslizar a rodar (rozamiento cinético):

f_k = μ_k N genera ΣF = ma_cm y Στ = I_cm α simultáneamente, hasta que v_cm = Rω.

Sistemas con Poleas

Aceleración en sistema con polea de momento de inercia I y radio R (máquina de Atwood generalizada):

a = [(m₁ − m₂)g] / [m₁ + m₂ + I/R²]

Diferencia de tensiones debida a la inercia de la polea:

T₁ − T₂ = Iα/R

Momento Angular

Momento angular de una partícula:

L = r × p = r × mv

Módulo: L = rmv senθ

Momento angular de un sistema de partículas:

L_total = Σ L_i = Σ (r_i × m_iv_i)

Momento angular de un cuerpo rígido rotando alrededor de un eje fijo:

L = Iω

Relación entre torque neto y momento angular (análogo rotacional de F = dp/dt):

τ_neto = dL/dt

Conservación del momento angular (si τ_ext = 0):

L_i = L_f ⇒ I_iω_i = I_fω_f

Momento angular orbital (partícula en trayectoria circular de radio r):

L = mvr = mr²ω = Iω