Fundamentos de Estática y Dinámica de Fluidos: Ecuaciones Clave y Aplicaciones

Aplicaciones de las Ecuaciones de la Estática de Fluidos

El Barómetro de Mercurio

Los barómetros de mercurio son aparatos que miden la presión atmosférica. Torricelli realizó el primer experimento que demostró su existencia. Este experimento consistía en un tubo cerrado lleno de mercurio, invertido sobre un recipiente que también contenía mercurio. El tubo no se variaba, sino que descendía ligeramente, y en la parte superior se generaba un vacío (el vacío de Torricelli).

Dado que la presión en dos puntos situados a la misma altura es la misma, la altura que alcanza el fluido dentro del tubo será aquella que iguale la presión atmosférica:

$$P_{atm} = \rho g h$$

A pesar de que el mercurio es un elemento muy tóxico, se ha empleado extensamente en barómetros debido a su alta densidad. Además, existe una unidad de presión denominada $\text{mmHg}$ (milímetros de mercurio).

Vasos Comunicantes

En una serie de tubos comunicados, independientemente de sus formas, si todos ellos contienen el mismo fluido y están abiertos por la parte superior, el fluido alcanzará la misma altura en todos ellos, ya que la presión en el fondo de todos es la misma.

Este resultado constituye la paradoja hidrostática, puesto que podría parecer que la presión en uno de los recipientes fuera mayor que en otro sin ser así.

Principio de Arquímedes

En un fluido en equilibrio, consideremos un elemento de forma cualquiera. Denominamos $V$ a su volumen y $S$ a la superficie que lo limita. La suma de las fuerzas que actúan sobre dicho elemento es nula, ya que el peso del fluido está compensado por la presión que ejerce el fluido circundante.

Si se sustituye el fluido por un sólido, la presión ejercida sobre sus paredes no debe cambiar. Esta fuerza se denomina empuje de flotación o empuje de Arquímedes y se puede enunciar del siguiente modo:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja.

Dependiendo del peso del cuerpo ($m\cdot g$) en relación con el empuje ($E$), pueden ocurrir tres situaciones:

1. El cuerpo se hunde hasta el fondo: $m\cdot g > E$
2. El cuerpo flota totalmente sumergido: $m\cdot g = E$
3. El cuerpo emerge parcialmente: $m\cdot g < E$

Principio de Pascal

De la ecuación de la estática se deduce también que la diferencia de presión entre los distintos puntos de un mismo fluido incompresible se mantiene constante:

$$P_1 - P_2 = \rho g (z_1 - z_2)$$

Así, si aumentamos la presión en un determinado punto, este aumento se transmite íntegramente a todos los demás puntos:

$$\Delta P_1 = \Delta P_2$$

En este principio se fundamentan múltiples aplicaciones técnicas hidráulicas y neumáticas.

Dinámica de Fluidos

Flujo o Caudal

El flujo ($\Phi$) es el volumen de fluido que atraviesa por unidad de tiempo una sección determinada. Sus unidades son, por ejemplo, los metros cúbicos por segundo ($\text{m}^3/\text{s}$).

El flujo que atraviesa una sección es el volumen de fluido que pasa por ella por unidad de tiempo. En un intervalo de tiempo $dt$, el fluido recorrerá una distancia $v \cdot dt$. Por lo tanto, el caudal será:

$$\Phi = S \cdot v$$

El flujo es igual a la velocidad del fluido por la sección.

Ecuación de Continuidad

Supongamos una conducción en la que la sección es variable, con áreas $S_1$ y $S_2$ y velocidades $v_1$ y $v_2$ en las secciones 1 y 2, respectivamente. El flujo en la posición 1 es $(v_1 \cdot S_1)$ y en la posición 2 es $(v_2 \cdot S_2)$.

Si por el resto de las paredes el flujo es nulo, el flujo másico se conserva. Si el fluido es incompresible, el volumen que pasa por 1 y 2 debe ser igual:

$$v_1 S_1 = v_2 S_2 = \text{cte}$$

Esto se conoce como la ecuación de continuidad e implica que en el punto con menor sección la velocidad sea mayor y viceversa.

Teorema de Bernoulli

Durante un intervalo de tiempo $dt$, el fluido se desplazará. Aplicando el teorema de la energía al elemento de fluido, el incremento de energía del elemento será igual al trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre él, es decir:

$$\Delta E_c = W_g + W_p$$

Donde:

a) Fuerzas de Presión

Las fuerzas de presión actúan sobre el elemento de fluido por sus dos lados. Siendo $F_1$ la que actúa por la izquierda y $F_2$ la de la derecha. El trabajo realizado será $W_1 = F_1 \cdot dl_1$ y $W_2 = F_2 \cdot dl_2$. Si el fluido se mueve de izquierda a derecha, $W_1$ será positivo y $W_2$ negativo. Si la sección del tubo es suficientemente pequeña, se puede suponer que cada fuerza es constante sobre su respectiva tapa.

b) Trabajo Gravitatorio

El trabajo que realiza la interacción gravitatoria sobre el elemento de fluido se puede expresar como la variación de la energía potencial con el signo cambiado. La energía potencial en el intermedio no varía, pero sí las de los dos extremos, determinadas por las alturas medias:

$$-dE_p = \rho g dV (h_1 - h_2)$$

c) Incremento de Energía Cinética

El incremento de energía cinética se puede dividir en dos partes: la energía en el intermedio y la de los extremos. La ecuación fundamental de la dinámica de fluidos, conocida como el Teorema de Bernoulli, se expresa como:

$$P + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{cte}$$