Ortogonalidad de las líneas de corriente y equipotenciales en flujo irrotacional

Resumen

El texto explica que, en un flujo irrotacional descrito por dos coordenadas, las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales salvo en los puntos de remanso. Se presentan las condiciones de Cauchy-Riemann para un flujo incompresible en el plano XY y la condición matemática de ortogonalidad entre las líneas de potencial y corriente constantes. También se plantea que Φ y ψ satisfacen la ecuación de Laplace.

Puntos clave

En un flujo irrotacional descrito por dos coordenadas existen la función corriente ψ y el potencial de velocidades Φ.
Las líneas de corriente y las equipotenciales son ortogonales excepto en los puntos de remanso.
Para un flujo incompresible en el plano XY, las relaciones entre Φ y ψ se denominan condiciones de Cauchy-Riemann.
La ortogonalidad se traduce en que las pendientes cumplen m1 = -(1/m2).
En los puntos de remanso (u = v = 0) la condición de ortogonalidad puede no cumplirse, porque el cociente está indeterminado.
Las relaciones de Cauchy-Riemann implican que Φ y ψ también satisfacen la ecuación de Laplace.

Ponte a prueba

Ortogonalidad de las líneas de corriente y líneas equipotenciales

Si un flujo es irrotacional y descrito solamente por dos coordenadas, existe tanto la función corriente ψ, como el potencial de velocidades, Φ, y las líneas de corriente y equipotenciales son ortogonales excepto en los puntos de remanso. Por ejemplo, para un flujo incompresible en el plano XY se tendría: ZZZR06+n1cE5lLYC24krmoafmWc3qgguZzlEebn8 ; 30XqIwrppFa2AAAAAElFTkSuQmCC

Estas ecuaciones se denominan condiciones de Cauchy-Riemann y se estudian en teoría de variable compleja.

¿Podría deducir por simple inspección que estas relaciones no solo implican ortogonalidad, sino que Φ y ψ también satisfacen la ecuación de Laplace? Una línea Φ cte, será tal que a lo largo de ella, el cambio de Φ es nulo: wNNyXctYOWGOwAAAABJRU5ErkJggg==

De donde: 0n+AC6pgswXo5tOAAAAAElFTkSuQmCC

Esta es la condición matemática de ortogonalidad mutua entre líneas Φ y ψ constantes. Esto puede no ser cierto en un punto de remanso, donde u = v = 0, ya que su cociente en la ecuación está indeterminado.

*Las pendientes deben cumplir: m₁ = - (1/m₂)

Preguntas frecuentes

¿Cuándo son ortogonales las líneas de corriente y las equipotenciales?

Son ortogonales en un flujo irrotacional descrito por dos coordenadas, excepto en los puntos de remanso. La condición matemática es que las pendientes cumplan m1 = -(1/m2).

¿Qué son las condiciones de Cauchy-Riemann en este contexto?

Son las relaciones entre las derivadas de Φ y ψ que se obtienen para un flujo incompresible en el plano XY. Se estudian en teoría de variable compleja.

¿Por qué no se cumple la ortogonalidad en un punto de remanso?

En un punto de remanso u = v = 0, por lo que el cociente que define la pendiente está indeterminado y la condición de ortogonalidad puede no ser cierta.