Fundamentos de Estadística Descriptiva y Probabilidad: Fórmulas y Conceptos Clave

1. Conceptos Fundamentales

• Parámetro: resume los datos de una población.
• Estadístico: resume los datos de una muestra.

2. Tipos de Variables y Escalas de Medición

Clasificación de Variables

• Cualitativa Nominal: sin orden intrínseco.
• Cualitativa Ordinal: posee un orden o jerarquía.
• Cuantitativa Discreta: valores enteros, conteos exactos.
• Cuantitativa Continua: valores reales o infinitos dentro de un intervalo (mediciones).

Escalas de Medición

• Escala Nominal: adecuada para variables cualitativas nominales.
• Escala Ordinal: adecuada para variables cualitativas ordinales.
• Escala de Intervalo: el cero es relativo (sin ausencia de la característica).
• Escala de Razón: el cero es absoluto (representa ausencia total de la característica).

3. Organización de Datos y Tablas de Frecuencias

Variables Cualitativas

Los datos no son numéricos. Se organizan en tablas con categorías y frecuencias:

• Categoría
• fi: frecuencia absoluta.
• hi: frecuencia relativa (proporción: x de cada total).
• pi: porcentaje (proporción porcentual).

Gráficos: diagrama de barras (respetando el orden si corresponde) y diagrama circular (el ángulo del sector se calcula como ángulo = hi × 360°).

Variables Cuantitativas Discretas

Valores numéricos exactos. Tabla con: Categoría (xi), fi, hi, pi, Fi, Hi, Pi.

Gráficos: diagrama de bastones, diagrama de barras y polígono de frecuencias (uniendo los segmentos superiores de las barras).

Variables Cuantitativas Continuas

Elementos para la construcción de intervalos:

• Rango (R): R = Xmax - Xmin.
• Número de intervalos (k).
• Ancho de intervalo o amplitud (A).
• Marca de clase (xi): punto medio del intervalo.
• Tabla de distribución: Intervalos, xi, fi, hi, pi, Fi, Hi, Pi.

Gráficos:

• Histograma y polígono de frecuencias: extremos de intervalos contra frecuencias simples (no acumuladas).
• Ojiva: para frecuencias acumuladas. El primer punto no tiene altura (origen en el límite inferior del primer intervalo); el primer y segundo punto definen el primer intervalo.

Interpolación Lineal

Fórmula de cálculo dentro de un intervalo:

f(x) = F1 + [(x - x1) / (x2 - x1)] · (F2 - F1)

• x1, x2: extremos del intervalo.
• F1: frecuencia del límite inferior anterior.
• F2: frecuencia del límite superior del intervalo.
• x: valor que se busca interpolar.

Interpretación de Frecuencias

• fi: número de observaciones en la categoría o intervalo.
• hi: proporción de casos sobre el total.
• pi: porcentaje de casos (como máximo... pero menor a...).
• Fi: frecuencia absoluta acumulada ("como máximo Fi observaciones que van de... hasta menor a...").
• Hi: frecuencia relativa acumulada (en proporción de Hi como máximo; o como máximo n de cada N).
• Pi: porcentaje acumulado hasta ese límite.

4. Medidas de Tendencia Central (MTC)

Datos No Agrupados

• Media (x̄ / mean): promedio general de los datos.
• Mediana (Me): divide la distribución en dos partes iguales (el 50% de los datos es menor o igual y el otro 50% es mayor o igual).
• Moda (Mo): dato o valor más frecuente.

Datos Agrupados

• Media discreta: x̄ = Σ(xi · fi) / n; se redondea al entero más próximo si la naturaleza de la variable lo exige.
• Media continua: x̄ = Σ(xi · fi) / n; no se redondea a entero.
• Mediana discreta: si n / 2 = Fi-1, se toma el primer punto; en caso contrario, el segundo punto.
• Moda discreta: corresponde al dato o valor con la mayor frecuencia (el más repetido).

5. Medidas de Posición

• Cuartiles (Q):
  • Q1: el 25% de los datos es menor o igual a este valor y el 75% lo supera.
  • Q2: 50% de los datos (coincide con la mediana).
  • Q3: el 75% de los datos es menor o igual a este valor y el 25% lo supera.
• Deciles (D): dividen los datos en 10 partes (D1 = 10%, etc.).
• Percentiles (P): dividen los datos en 100 partes (P1 = 1%, etc.).

6. Medidas de Dispersión

• Rango (Range): R = Xmax - Xmin.
• Varianza (s²): calculada con fi para datos agrupados. Si los datos están muy concentrados en torno a la media, la varianza es pequeña (baja dispersión).
• Desviación Estándar (s / sd): cuantifica en promedio cuánto se alejan los datos de la media en sus unidades originales. Si s es pequeña, los datos están concentrados; si s es grande, los datos están dispersos.
• Coeficiente de Variación (CV): permite comparar la variabilidad relativa entre grupos y determinar cuál es más homogéneo:
  • CV < 10%: datos muy homogéneos (baja dispersión).
  • 10% ≤ CV ≤ 30%: variabilidad aceptable / moderada.
  • CV > 30%: datos heterogéneos (alta dispersión).

7. Medidas de Forma

Asimetría (Skewness)

• As < 0: asimetría negativa (sesgo hacia la izquierda).
• As = 0: distribución simétrica (o casi simétrica).
• As > 0: asimetría positiva (sesgo hacia la derecha; mayor concentración de datos a la derecha de la cola).

Curtosis (Apuntamiento)

• k > 0.263 (o g2 > 0): distribución leptocúrtica (datos muy concentrados en el centro).
• k = 0.263 (o g2 = 0): distribución mesocúrtica (distribución normal estándar).
• k < 0.263 (o g2 < 0): distribución platicúrtica (datos más dispersos y aplanados).

8. Diagrama de Cajas (Boxplot)

• Caja: delimitada por el primer cuartil (Q1) y el tercer cuartil (Q3).
• Rango Intercuartílico (RI): RI = Q3 - Q1.
• Límite Inferior (LI): LI = Q1 - 1.5 · RI.
• Límite Superior (LS): LS = Q3 + 1.5 · RI.
• Línea central: representa la mediana dentro de la caja.

9. Conceptos de Probabilidad y Combinatoria

• Permutación: el orden de los elementos sí importa.
• Variación: el orden de los elementos sí importa (tomando subconjuntos).
• Combinación: el orden de los elementos no importa.
• Conectores lógicos: la intersección (∩) representa la condición "y"; la unión (∪) representa la condición "o".
• Probabilidad Condicional: P(A|B) representa la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido.