Fundamentos de Electromagnetismo: Circuitos RL, Conductores y Efecto Hall

Circuitos RL

La fuerza electromotriz (fem) de la pila será la suma de las caídas de tensión en el circuito: ε₀ = I·R + L·(dI/dt).

Para resolver la ecuación diferencial, despejamos el tiempo: t = -L/R * ∫(-R·dI) / (ε₀ - I·R). En el instante de cerrar el interruptor S (cuando t = 0), la corriente es nula y la variación de corriente por unidad de tiempo es máxima. La corriente va aumentando progresivamente y, después de un tiempo, se cumple la relación: dI/dt = (ε₀ / L) · e^(-t/τ), donde τ = L/R es la constante de tiempo del circuito.

El valor final de la corriente (estado estacionario) puede obtenerse haciendo dI/dt = 0, lo que resulta en I_f = ε₀ / R.

Gráficamente, podemos representar la intensidad de corriente en función del tiempo mediante la expresión: I = (V₀ / R) · (1 - e^(-Rt/L)).

Descarga de la autoinducción

En el proceso de descarga de la autoinducción, no se introduce un generador en el circuito, por lo que la ecuación se reduce a: 0 = I·R + L·(dI/dt). Integrando la expresión, obtenemos: -ln(I₀ / I) = Rt / L, lo que nos permite definir la corriente como: I = I₀ · e^(-t/τ), donde τ = L/R. Esta función representa la recta que corta a la curva en el origen en el análisis de decaimiento.

Conductores Aislados en Equilibrio Electrostático

Los conductores son sistemas físicos que poseen cargas en su interior (generalmente electrones) con libertad de movimiento dentro del material. Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando el trabajo necesario para mover una carga de una posición a otra es nulo, lo que implica que no hay gasto de energía.

Propiedades fundamentales:

• Campo eléctrico interior nulo: El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es cero (E = 0). Esto se expresa mediante la integral de flujo: Φ = ∫ E · dS = 0.
• Distribución de la carga: Si el conductor en equilibrio está cargado, la carga se sitúa necesariamente en la superficie. Según la ley de Gauss: Φ = ∮ E · dS = Q / ε₀.
• Campo eléctrico externo: El valor del campo eléctrico en un punto próximo a la superficie es perpendicular a la misma y su magnitud es σ / ε₀ (donde σ es la densidad superficial de carga).
• Superficie equipotencial: La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie equipotencial. Dado que el campo eléctrico es nulo dentro del conductor, el potencial es constante en todo punto interior e igual a su valor en la superficie.

Principio de Conservación de la Carga

Si la cantidad de carga en una región cualquiera del espacio varía a lo largo del tiempo, debe existir un flujo de carga correspondiente. Consideremos una superficie S que encierra una región del espacio con una carga total Q.

La velocidad a la cual la carga fluye saliendo de dicha región a través de un elemento diferencial de área es: J_n · dS, donde J_n es la componente normal de la densidad de corriente respecto a la superficie. Al integrar esta velocidad de flujo en toda la superficie S, obtenemos la corriente total saliente, la cual debe ser igual a la velocidad de disminución de la carga Q en el interior: ∮ J · dS = -dQ/dt.

Ecuación de continuidad y Teorema de Gauss

Escribiendo esta ecuación en forma diferencial y considerando que Q = ∫ ρ · dV (donde ρ es la densidad de carga y V es el volumen encerrado), aplicamos el teorema de Gauss: ∮ J · dS = ∫ (∇ · J) dV = -∂/∂t ∫ ρ · dV.

Las integrales de volumen se extienden al mismo espacio encerrado por S, ya que ρ depende generalmente de la posición y del tiempo. Por tanto, la última integral se puede reescribir para obtener la ecuación de continuidad en forma diferencial: ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0. Esto demuestra que la carga eléctrica ni se crea ni se destruye, se conserva.

Efecto Hall

El efecto Hall se produce cuando se ejerce un campo magnético transversal sobre un conductor por el que circulan cargas. Según la ley de Lorentz, la fuerza magnética ejercida sobre ellas es perpendicular tanto al campo magnético como a su velocidad; por ello, las cargas son impulsadas hacia un lado del conductor, generando un voltaje transversal denominado voltaje Hall (V_H).

La obtención experimental del voltaje Hall permite deducir la velocidad de los portadores de carga y su concentración (n). Al alcanzarse la situación estacionaria, la fuerza eléctrica ejercida sobre cada carga se equilibra con la fuerza magnética:

F_e = F_m → q · E = q · (v × B)

De esta igualdad se deduce que el voltaje Hall es directamente proporcional a la corriente eléctrica y al campo magnético, e inversamente proporcional al número de portadores por unidad de volumen y al espesor del conductor: V_H = (I · B) / (n · q · d).