Potencia en corriente alterna: instantánea, activa, reactiva, aparente y Boucherot

Instantánea I

Definición de tensiones y corrientes:

u(t) = √2·U·sin(ωt + α); i(t) = √2·I·sin(ωt + α − φ)

Desarrollo

La potencia instantánea es:

p(t) = u(t)·i(t) = 2·U·I·sin(ωt + α)·sin(ωt + α − φ)

Utilizando identidades trigonométricas se obtiene:

p(t) = U·I·cos φ − U·I·cos(2ωt + 2α − φ) = P + p_f(t)

• Primer sumando, P (potencia activa): P = (1/T)·∫ p(t) dt = U·I·cos φ.
• Segundo sumando, p_f (potencia fluctuante): p_f(t) = −U·I·cos(2ωt + 2α − φ).
• Producto U·I: potencia aparente S = U·I.

Características

La potencia instantánea oscila entre extremos según:

p(t) = P − S·cos(2ωt + 2α − φ)

• Valor máximo: pmax = P + S (cuando cos(·) = −1).
• Valor mínimo: pmin = P − S (cuando cos(·) = +1).
• En los pasos por cero de u e i, p = 0.
• Si φ = 0, entonces p(t) ≥ 0 para todo t (solo consumo neto de energía).
• Si φ ≠ 0, p(t) puede tomar valores positivos y negativos; cuando p > 0 el dipolo absorbe energía (parte disipada y parte almacenada) y cuando p < 0 el dipolo entrega energía a la red.

Instantánea II

Descomposición de la potencia instantánea

Se puede descomponer la corriente en una componente activa i_p y una componente reactiva i_q, de modo que:

p(t) = u(t)·i(t) = u(t)·ip(t) + u(t)·iq(t) = pp(t) + pq(t)

donde pp es la potencia instantánea activa y pq la potencia instantánea reactiva.

Potencia instantánea activa

Considerando la componente activa de la corriente:

pp(t) = u·ip = √2·U·sin(ωt + α) · √2·Ip·sin(ωt + α) = 2·U·Ip·sin²(ωt + α)

Que puede escribirse como:

pp(t) = U·Ip·(1 − cos(2ωt + 2α)) = P·(1 − cos(2ωt + 2α))

Aquí P = U·Ip = U·I·cos φ = S·cos φ. Observaciones:

• p_p ≥ 0 para todo t.
• El valor medio de pp sobre un periodo T es la potencia activa P; representa el flujo neto de energía por unidad de tiempo (energía disipada).
• El término oscilatorio intrínseco −P·cos(2ωt + 2α) no produce pérdidas netas en la línea (no tiene valor medio distinto de cero).

Potencia instantánea reactiva

Tomando la componente reactiva de la corriente (fase desplazada 90° respecto a la tensión):

pq(t) = √2·U·sin(ωt + α) · (−√2·Iq·cos(ωt + α)) = −U·Iq·sin(2ωt + 2α)

Denotando Q = U·Iq = U·I·sin φ,

pq(t) = −Q·sin(2ωt + 2α)

• Esta potencia es producida por la componente reactiva de la corriente.
• Representa el flujo de energía que oscila entre la fuente y los elementos almacenadores (inductancias y capacitancias).
• Su valor medio es cero, pero las oscilaciones pueden incrementar las pérdidas en la línea (efectos reactivas sobre las corrientes).

Potencia perdida en la línea

(Esquema: Ug, Ig, R_ls, G_ld (paralelo), U, dipolo)

Las pérdidas en la línea pueden expresarse como:

Pl = Rls·Ig² + Gld·U²

Si la admitancia de carga G_ld es pequeña (R_ld = 1/G_ld ≫ Z_d) y aproximando Ig ≈ I,

Pl ≈ Rls·I² = Rls·(S²/U²) ∝ S²

Por lo tanto, las pérdidas en la línea son proporcional al cuadrado de la potencia aparente S de la carga.

Sección de conductores

Partiendo de la expresión de pérdidas:

Pl ≈ Rls·I² = (2·l/(σ·A))·I² = (2·l/(σ·A))·(S²/U²)

donde:

• l = longitud de la línea (m).
• σ = conductividad del material (en unidades coherentes, por ejemplo S·mm²/m o equivalentes).
• A = sección de la línea (mm²).

Despejando la sección A en función de las pérdidas permitidas P_l:

A = (2·l/(σ·Pl))·(S²/U²)

Conclusión: la sección A requerida es proporcional al cuadrado de la potencia aparente S de las cargas (para una pérdida P_l dada y una longitud l fija).

Potencia aparente compleja

Definición y representación

La potencia aparente compleja se define como:

S = P + j·Q = |S|·e^{jφ}

En términos de fasores de tensión y corriente:

• S = U·I* (producto del fasor de tensión por el conjugado del fasor de corriente).
• Si U = Z·I, entonces S = Z·|I|².
• Si I = Y·U, entonces S = |U|²·Y*.

Estos resultados permiten expresar S tanto en función de impedancias como de admitancias.

Observación: En representación gráfica, una carga resistivo‑inductiva tendrá Q positivo (ordenada positiva), mientras que una resistivo‑capacitiva tendrá Q negativo.

Teorema de Boucherot

Definición

El teorema de Boucherot establece que la suma de las potencias complejas de todos los elementos de una red es cero cuando se consideran las potencias entregadas y absorbidas (convenio receptor/emisor):

∑ S_r = ∑ U_r · (I_r)* = 0

Esta expresión procede del principio de conservación de la energía y del teorema de Tellegen.

Corolario

Conservación e independencia de las potencias activas y reactivas en una red de CA:

∑ P_r + j·∑ Q_r = 0

Esto implica que el balance de la red cumple:

• Sumatorio de potencias activas entregadas = sumatorio de potencias activas absorbidas.
• Sumatorio de potencias reactivas entregadas = sumatorio de potencias reactivas absorbidas.
• De forma análoga para la potencia aparente: S entregada = S absorbida, considerando signos convención.

Nota final: En sistemas de potencia la correcta interpretación de P, Q y S y su descomposición instantánea es fundamental para el estudio de pérdidas, diseño de líneas y dimensionado de conductores, así como para la compensación reactiva y mejora del factor de potencia.