Fundamentos de Ecuaciones Lineales y Sistemas de Matrices

Ecuaciones Lineales: Definición y Conceptos Básicos

Dados los escalares reales a₁, a₂, ..., aₙ y b, se denomina ecuación lineal con n incógnitas a la expresión:

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b

Las n incógnitas o variables están representadas por los símbolos x₁, x₂, ..., xₙ; los a son los coeficientes de x para i = 1, 2, ..., n y b es el término independiente de la ecuación. Al conjunto ordenado de escalares reales (δ₁, δ₂, ..., δₙ) que verifican la ecuación se le denomina solución del sistema de ecuaciones lineales (SEL).

Las ecuaciones lineales de 2 incógnitas representan rectas en el plano, mientras que las de 3 incógnitas representan un plano en el espacio.

Clasificación de sistemas lineales según su solución

• Sistema compatible:
  • Determinado: posee una única solución.
  • Indeterminado: posee infinitas soluciones.
• Sistema incompatible: no tiene solución.

Métodos de resolución

Para resolver estos sistemas se utilizan diversos métodos:

1. Igualación
2. Sustitución
3. Regla de Cramer
4. Resolución matricial
5. Método de Gauss y Gauss-Jordan

Teorema de Rouché-Frobenius

Para una matriz de m x n donde m = n, se compara el rango de la matriz de coeficientes r(A) con el rango de la matriz ampliada r(A,b):

• Si r(A) = r(A,b) = n: el sistema es compatible determinado.
• Si r(A) = r(A,b) < n: el sistema es compatible indeterminado.
• Si r(A) ≠ r(A,b): el sistema es incompatible.

Rango de una matriz

Se denomina rango de una matriz A a la cantidad de renglones no nulos que tiene cualquier forma escalonada de dicha matriz. Se simboliza r(A). El rango de una matriz es siempre igual o menor al número de filas que posee.

Método de Orlando

El concepto de determinante permite obtener otro método para calcular el rango de una matriz. Es necesario conocer los siguientes conceptos:

1. Menor de orden p: es el determinante de una matriz que se obtiene al considerar p filas y p columnas de A.
2. Orlar un menor de orden p: es considerar un menor de orden p+1 obtenido al agregarle a dicho menor de orden p, otra fila y otra columna de la matriz A.

Se verifica que si M es una matriz cuadrada de orden p, entonces r(M) = p si |M| ≠ 0, o bien r(M) < p si |M| = 0.

Gráfica de una ecuación y lugar geométrico

En la geometría surgen dos problemas fundamentales:

1. Dada una ecuación, interpretarla geométricamente.
2. Dada una gráfica, determinar su ecuación.

Dada una función f(x,y) = 0, existen infinitos pares de números que satisfacen esa ecuación, llamados coordenadas. El conjunto de puntos que forman una ecuación se denomina gráfica de una ecuación o lugar geométrico.

Propiedades de las gráficas

• Intersección con los ejes:
  • Con el eje de ordenadas (eje Y): x = 0, punto P(0, y).
  • Con el eje de abscisas (eje X): y = 0, punto P(x, 0).
• Simetría:
  • Respecto al eje Y: Lo que ocurre a la derecha del eje Y ocurre a la izquierda. Las coordenadas de y son iguales y las de x cambian de signo. Ej: (-2, 3) y (2, 3).
  • Respecto al eje X: Lo que ocurre por encima del eje X ocurre por debajo. Los valores de x son iguales y los de y cambian de signo. Ej: (1, 1) y (1, -1).
  • Respecto al origen: Si un punto P(x, y) conforma una curva, debe existir otro punto P(-x, -y).