Fundamentos de Ecuaciones en Derivadas Parciales y el Método de los Elementos Finitos

Definición de EDP

Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una ecuación cuya incógnita es una función de varias variables y donde aparecen algunas de sus derivadas parciales. Para tener una única solución, a la EDP debemos añadirle condiciones de contorno (C.I. y condiciones frontera C.F.).

• C.I. (Condiciones Iniciales): Es el valor de la función en el tiempo cero.
• C.F. (Condiciones de Frontera): Es el valor de la función en los límites o bordes espaciales, que define cómo se comporta el sistema en sus extremos.

Elementos Finitos (MEF)

Se utiliza para resolver modelos matemáticos complejos, generalmente formulados mediante ecuaciones en derivadas parciales (espacio). Por ejemplo, si tenemos que calcular cómo se deforma el ala de un avión o cómo se distribuye el calor en una pieza, estos problemas se describen en EDPs que son, en la mayoría de los casos, imposibles de resolver con fórmulas exactas (solución clásica).

Pasos para resolver el problema mediante MEF

Para resolver el problema mediante el Método de los Elementos Finitos (MEF), aplicamos los siguientes pasos:

1. Problema de partida (formulación débil)

   El MEF no trabaja directamente con la EDP original (la formulación fuerte o de contorno PM), ya que esta a menudo no tiene solución. En su lugar, se recurre a una versión conocida como el principio de los trabajos virtuales buscando una solución débil.

2. Discretización

   Tomamos la región física donde se define el problema y la dividimos en muchas piezas llamadas elementos finitos; esta división es la malla.

3. Aproximación polinomial

   La solución desconocida (U) se aproxima mediante un polinomio simple que depende de los valores de la solución en los vértices del elemento.

4. Sistema de ecuaciones algebraicas

   Al aplicar la formulación variacional sobre todos estos elementos, el problema de encontrar la función de solución continua se hace mucho más fácil y se convierte en la expresión matricial K * V = F.

5. Resultado

   Al resolver este sistema, obtenemos los valores aproximados de la solución en cada nodo. Al unirse estos valores por las funciones polinomiales de cada elemento, nos da una aproximación a la solución débil del problema original.

6. Error

   El error lo podemos encontrar relacionado con la regularidad en la malla, la solución débil y el grado de los polinomios de aproximación.