Fundamentos de Distribuciones de Probabilidad: Discretas y Continuas
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Variables Aleatorias Geométricas
Cuando realizamos una serie de pruebas de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p, y nos interesamos por cuántas debemos realizar hasta que aparezca el primer éxito, estamos ante una variable geométrica.
Función de masa de probabilidad
P(X=n) = p · qn-1
Esperanza y Varianza
- Esperanza E{X}: 1/p. Demostración: p + 2pq + 3pq2 + ... = Σ npqn-1
- Varianza E{X2}: (2/p2) - (1/p) = q/p2
Variables Aleatorias Continuas
Distribución Uniforme en el intervalo [a, b]
- Esperanza E{X}: (a + b) / 2. Demostración: ∫ x / (b-a) dx
- Varianza σ2: (b - a)2 / 12. Demostración: ∫ x2 / (b-a) dx
Distribución Exponencial
Una variable aleatoria sigue una distribución exponencial cuando su función de densidad es:
- f(x) = 0, si x < 0
- f(x) = λe-λx, si x ≥ 0
Propiedades
- Esperanza E{X}: 1/λ
- Varianza V(X): 1/λ2
- Función de distribución F(x): 1 - e-λx (para x ≥ 0)
Variable Aleatoria Normal
Una variable aleatoria es normal estándar, denotada como N(0,1), cuando su función de densidad es:
f(x) = (1 / √2π) · e(-x2/2)
Momentos de la Normal
La esperanza de una variable N(0,1) es 0, ya que la integral ∫ x · f(x) dx se anula al ser impar el integrando. La varianza es 1, lo cual se comprueba al integrar por partes ∫ x2 · f(x) dx.
Teorema Central del Límite
Si X1, ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con E{Xi} = μ y V(Xi) = σ2, entonces el límite cuando n tiende a infinito de P(Yn ≤ t) es igual a F(t) para cualquier número t.
Ejemplo: La suma de n variables de Bernoulli independientes con el mismo parámetro p puede aproximarse por una distribución normal de media np y varianza np(1-p).