Fundamentos de Dinámica Clásica: Fuerzas Ficticias, Leyes de Kepler y Rozamiento en Fluidos

Centrifuga y coriolis:

Sea {O;e₁,e₂,e₃} un observador fijo y sea {O';e_'1,e_'2,e'₃}, con O=O', un observador que gira con una velocidad angular ω cte en torno al primer observador.Analicemos el movimineto relativo de una partícula r(t) respecto de ambos observadores. R(t) = x(t)e₁ + y(t)e₂ + z(t)e₃,r(t) = x'(t)e'₁ + y'(t)e'₂ + z'(t)e^'3. Si derivamos: v(t)=dr/dt=(dx'/dt)e'₁ + (dy'/dt)e'₂ + (dz'/dt)e'₃ + x'(de'₁/dt) + y'(de'₂/dt) + z'(de'₃/dt).(Sabemos que de'i/dt = w x e'i).Entonces v = (dx'/dt)e'₁ + (dy'/dt)e'₂ + (dz'/dt)e'₃ + x'ωxe'₁ + y'ωxe'₂ + z'ωxe'₃, es decir V(t) = v'(t) + ωxr(t). Derivando nuevamente: a(t)=dv/dt=(d²x'/dt²)e'₁ + (d²y'/dt²)e'₂ + (d²z'/dt²)e'₃ + 2(dx'/dt)ωxe'₁ + (dy'/dt)ωxe'₂ + (dz'/dt)ωxe'₃ + x'ωx(ωxe'₁) + y'ωx(ωxe'₂) + z'ωx(ωxe'₃), es decir, a(t) = a'(t) + 2wxv(t) + wx(wxr(t)). El observador O' formula la existencia de dos factores correctores a la aceleración formulada por O. Si m es la masa del objeto observado: F_centrifuga= -mwx(wxr(t)), F_coriolis = -2mwxv(t)

• Fuerza centrifuga: Este vector es perpendicular w y siempre mira hacia el exterior del giro.Por ejemplo, para un observador O' que gira con la Tierra, ese vector se descompone en una componente vertical(que corrige el valor de la gravedad) y una componente tangencial que mira hacia el sur en el hemisferio norte y hacia el norte en el sur.
• Fuerza de Coriolis: Esta fuerza depende de la velocidad relativa v'. Estudiamos dos casos referidos a un observador O' girando con la Tierra.A)Evolución de una partícula en caída libre. El vector v' es radial y Fcoriolis = -2mwxv' es un vector tangente a la superficie terrestre, de modulo 2mwv'sen(90 - λ)(λ latitud).B)Evolución de una partícula con movimineto tangente a la superficie terrestre. El vector Fcoriolis es perpendicular a w y a v' y forma un ángulo de 90 - λ con el plano horizontal. Podemos descomponer la fuerza de Coriolis en una parte vertical y una parte horizontal. La parte horizontal es perpendicular a v' y orientada hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur.

Leyes de Kepler:

1ª: La trayectoria de una partícula bajo una fuerza proporcional al cuadrado del inverso de la distancia es una cónica. 2ª: El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 3ª: Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales al cubo del semieje mayor.

Teorema de las fuerzas vivas:

si r(t) es una partícula y F es la resultante del conjunto de fuerzas que actúan en la partícula, entonces W(F,t1,t2)= Ec(t2)- Ec(t1) =ΔEc. Dem: W(F,t1,t2) = ∫^t2_t1 Fvdt =(2ª ley de Newton)= ∫_t1^t2mavdt= m∫_t1^t2(dv/dt)vdt = (*)=½m∫(d(v(t)²)/dt)dt=½mv(t)² |_t1^t2 =  ½m(v(t2)² - v(t2)²) = ∆Ec  (*) (d/dt)v(t)² = (d/dt)(v(t)v(t)) = 2(dv(t)/dt)v(t)

Fluido con rozamiento:

La fuerza de fricción en un fluido es en modulo kηvⁿ ( k es una cte que depende de la forma de la partícula, η es una cte al fluido, n depende de la relación entre k, v y η) F en dirección y sentido opuesta a la velocidad. Caso n=1:

• Partícula con velocidad inicial v(0) = v₀ dentro del fluido y sin mas fuerzas. La ecuación de la dinámica es m(dv/dt) = -kηv. El movimiento es rectilíneo. V(t) = v₀e^-ktη/m y x(t) =  -v₀e^-ktη/m  + v₀m/kη
• la partícula tiene v(0) = v₀ y hay una fuerza externa cte mg. La ecuación de la dinámica es m(dv/dt) = -kηv + mg. 1)Suponemos que g y v0 son verticales. La fuerza se estabiliza cuando kηv=mg.La velocidad limite es v= mg/kη. En general v(t) = mg/kη + (vo - mg/kη)e^-kηt/m