Fundamentos de Cálculo Multivariable y Álgebra Lineal Avanzada

Cálculo Diferencial Multivariable

Vector Gradiente

El vector gradiente es el vector columna que resulta de colocar las derivadas parciales de f respecto a cada una de las variables que componen la función. El gradiente en un punto representa la dirección de máximo crecimiento que se produce en la función en ese punto.

Matriz Hessiana

La Matriz Hessiana se define como una matriz cuadrada y simétrica compuesta por las derivadas de segundo orden.

Teorema de Schwarz

Según el Teorema de Schwarz: Sea F perteneciente a R² y X₀ perteneciente al interior del dominio int(D) tales que sus derivadas parciales de orden 1 y 2 existen y son continuas; en tal caso, las derivadas parciales de orden 2 cruzadas existen y son iguales.

Aplicación Direccional

Para la aplicación direccional, es necesario calcular el dominio y verificar que el punto proporcionado pertenezca a dicho dominio. La expresión matemática es: Dom f(x, y)v = ∇f(x, y)ᵀ · v (donde ∇f es el vector gradiente traspuesto multiplicado por el vector v).

Derivada Direccional

La derivada direccional o tasa instantánea de variación de la dirección: para obtenerla, debemos dividir la derivada según el vector entre el módulo del vector respecto del cual derivamos. La derivada direccional es igual a la derivada según un vector dividida por la norma del vector dado (calculada como la raíz cuadrada de la suma de los componentes x, y... al cuadrado).

Diferenciabilidad

En cuanto a la diferenciabilidad, una función es diferenciable cuando es continua y derivable en el punto. Al menos todas las derivadas parciales deben existir.

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Determinante Cero

Un determinante es igual a cero cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• Presencia de una fila o columna de ceros.
• Existencia de una fila o columna igual a otra.
• Existencia de una fila o columna proporcional a otra.
• Dos filas o dos columnas que son combinación lineal de las demás.

Regla de Cramer

La Regla de Cramer establece que si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante es distinto de cero, el sistema tiene una solución única.

Rango

El rango se define como el número de vectores linealmente independientes que componen el sistema o matriz.

Aplicaciones Lineales

Una aplicación lineal es una expresión que relaciona dos conjuntos. Partimos de un vector original y, mediante la aplicación, obtenemos un vector nuevo. Si el espacio de salida y el de llegada son el mismo, se denomina endomorfismo. Toda aplicación lineal cumple con las propiedades de los subespacios vectoriales.

1. Expresión implícita: f(x, y, z) = (primera expresión...).
2. Expresión matricial: Las columnas de la matriz representan la imagen de los vectores de la base canónica.

El Núcleo (Kernel) se halla al igualar el sistema a cero y resolver, mientras que la Imagen está determinada por las columnas de la matriz.

Método de Jacobi y Autovalores

En el estudio de Jacobi y autovalores, ambas expresiones diagonales poseen el mismo número de coeficientes positivos, negativos y nulos, fundamentado en la Ley de Inercia de Sylvester.

Ecuaciones y Espacios Vectoriales

Ecuaciones Implícitas y Paramétricas

Para obtener las ecuaciones implícitas, se utiliza la matriz para resolver sistemas, obteniendo así las ecuaciones paramétricas y los vectores que forman la base.

Vectores

En el análisis de vectores, se considera la matriz, el rango, la base y las ecuaciones paramétricas. Si tenemos una matriz cuyas columnas son los vectores de la base, añadimos una columna de variables para extraer las ecuaciones implícitas.

Integrales Dobles

En el cálculo de integrales dobles, se suele observar que la parte dentro es fácil de resolver, mientras que la parte de fuera presenta mayor dificultad.

Resumen de Estructuras

Relación fundamental entre ecuaciones paramétricas, vector, base y ecuaciones implícitas.