Fundamentos del Cálculo Integral: Primitivas e Integrales Definidas

Primitiva de una función

Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que: F′(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b].

Integral indefinida de f

Se define como el conjunto de todas las primitivas de f; es decir, dada una función primitiva F(x) de f(x), entonces la integral indefinida de f(x) es el conjunto: {F(x) + C : C ∈ ℝ}.

Propiedades de la integral indefinida

• a) ∫ f′(x) dx = f(x) + C
• b) ∫ k ⋅ f(x) dx = k ⋅ ∫ f(x) dx, para todo k ∈ ℝ
• c) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Integral definida

Dada una función f no negativa, f(x), y un intervalo [a, b] en el cual la función esté definida, llamaremos integral definida de f(x) en [a, b] al área encerrada por la curva f entre a y b y el eje OX. Lo denotaremos como ∫ f(x) dx.

Partición de un intervalo

Dado un intervalo [a, b], llamaremos partición de ese intervalo a un conjunto cualquiera de puntos de [a, b], P = {x₀, x₁, x₂, ..., xₙ} tales que: a = x₀ < x₁ < x₂ < x₃ < ... < xₙ = b.

Diámetro

Llamaremos diámetro al mayor de los números x₁ – x₀, x₂ – x₁, ..., xₙ – xₙ₋₁.

Propiedades de la integral definida

• a) Si f ≥ 0 en [a, b], entonces ∫ f(x) dx ≥ 0.
• b) ∫ f(x) dx = 0 (cuando los límites de integración coinciden).
• c) Si a < c < b, entonces: ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx (propiedad aditiva del intervalo).
• d) ∫ f(x) dx = -∫ f(x) dx (al invertir los límites).
• e) ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = ∫ (f(x) + g(x)) dx.
• f) k ∫ f(x) dx = ∫ k ⋅ f(x) dx.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si f es una función continua en [a, b] y además F(x) = ∫ f(t) dt, entonces F es derivable y además su derivada es f(x): F'(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b].

Función área

Dada la función f, definida en [a, b], llamamos función área asociada a f(x) a la función F(x) = ∫ f(x) dx, para todo x ∈ [a, b]. Dicha función determina el área encerrada por la función f(x) entre a y x.

Teorema del Valor Medio

Si f es continua en [a, b], entonces existe c ∈ [a, b] tal que: f(x₀) = 1 / (b - a) ∫ f(x) dx. Si tenemos una f continua en [a, b], el área entre la curva se expresa como: ∫ f(x) dx = f(x₀)(b - a).

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva suya, entonces: ∫ f(x) dx = G(b) – G(a).