Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral: Series, Límites y Métodos Numéricos

Series Numéricas

• Serie Telescópica: $\sum (A_n - A_{n+1})$
• Serie Alternada: $\sum (-1)^n \cdot A_n$ donde $A_n > 0$, $A_n$ es decreciente y $\lim_{n \to \infty} A_n = 0$.
• Serie Armónica: $\sum \frac{1}{n^p}$, converge si $p > 1$.
• Serie Geométrica: $\sum A_n(r^n) = \frac{r}{1-r}$ o $\frac{1}{1-r}$ si $0 < r < 1$ (converge).

Funciones, Límites y Continuidad

Tipos de Funciones

• Función Par: $f(-x) = f(x)$ (ejemplo: $\cos(x)$).
• Función Impar: $f(-x) = -f(x)$ (ejemplo: $\text{sen}(x)$).
• Función Inyectiva: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$; el dominio de la función inyectiva es la imagen de su inversa.

Resolución de Límites e Indeterminaciones

• Indeterminación $[k / 0]$: Se estudian las ramas laterales; deben dar el mismo resultado para que el límite exista.
• Indeterminación $[0 / 0]$: Aplicar factor común y simplificar; si hay raíces con resta, multiplicar por el conjugado.
• Indeterminación $[\infty / \infty]$: Dividir por la $X$ de mayor grado del denominador. Si el grado del numerador ($n$) > denominador ($d$) = $\infty$; si $n < d = 0$.
• Indeterminación $[1^\infty]$: Aplicar el límite notable $\lim (1 + \frac{1}{n})^n = e$.

Continuidad y Teoremas de Aproximación

• Continuidad: Una función es continua en $a$ si $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
• Teorema de Bolzano: Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $\text{signo } f(a) \neq \text{signo } f(b)$, existe al menos una raíz.
• Método de Bisección: Si $\text{signo } f(a) \neq \text{signo } f(b)$, se calcula $X_n = \frac{A_n + B_n}{2}$ y se sustituye para el siguiente intervalo.
• Método de la Secante: $X_{n+1} = X_n - \frac{f(X_n)(X_n - X_{n-1})}{f(X_n) - f(X_{n-1})}$. Error: $|\frac{X_n - X_{n-1}}{X_n}|$.
• Regula Falsi: Igual que la secante pero con sustitución de signo. Es necesario ordenar el intervalo $a < b$.

Derivadas y sus Aplicaciones

Definiciones y Teoremas

• Función Derivada: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
• Recta Tangente: $y - y_0 = f'(X_0)(X - X_0)$.
• Teorema de Rolle: Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, y $f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \mid f'(c) = 0$.
• Teorema del Valor Medio: Continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
• Teorema del Valor Medio de Cauchy: $[g(b) - g(a)] f'(\alpha) = [f(b) - f(a)] g'(\alpha)$.
• Incrementos Finitos: $f(a+h) = f(a) + f(h) \cdot f'(a)$.

Otras Indeterminaciones y Métodos

• Indeterminación $[0 \cdot \infty]$: Pasar uno de los términos al denominador del denominador.
• Indeterminación $[\infty^0]$: Aplicar logaritmo natural ($\ln$) y deshacer con la función exponencial ($e$).
• Desintegración (Estroncio): $M(t) = M_0 \cdot e^{kt} \rightarrow 0.5M_0 = M_0 e^{kt_{1/2}}$.
• Método de Newton: $X_{n+1} = X_n - [\frac{f(X_n)}{f'(X_n)}]$.
• Asíntota Oblicua: $m = \lim \frac{f(x)}{x}$, $n = \lim (f(x) - mx) \rightarrow y = mx + n$.

Tablas y Fórmulas Auxiliares

Identidades y Propiedades:

• $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1$
• $1 - \cos^2(x) = \text{sen}^2(x)$
• $\cos^{-1} = \text{arccos}$
• $\text{sen}(x-a) \geq 0 \rightarrow [a, a+\pi]$
• Coeficiente de Variación: $CV = \frac{dA/ds}{A/s}$

Geometría y Álgebra

Ecuación de la circunferencia: $x^2 + y^2 = r^2$

Límites y Derivadas Notables

• $\lim_{x \to 0^+} (\ln x) = -\infty$
• $\lim_{x \to 0} (\frac{\text{sen } x}{x}) = 1$ (Propiedad: si $x \to 0^+$, $\text{sen } u \sim u$)
• $\lim_{x \to \pi/2} (\tan x) = \infty$
• $\lim_{x \to -\pi/2} (\tan x) = -\infty$
• $f'(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $f'(\text{arctg } x) = \frac{1}{1+x^2}$ (Nota: el texto original mencionaba $1/\tan x$, se corrige a la derivada estándar).

Constantes y Logaritmos

• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• $\sqrt{2} \approx 1.41$; $\sqrt{3} \approx 1.73$; $e \approx 2.71$
• $e^{-\infty} = 0$; $e^{\infty} = \infty$
• Logaritmos: $\log_a(B) = x \rightarrow a^x = B$
• $\log(a^n) = n \log(a)$
• $\log(0^+ \dots) < 0$; $\log(1 - \infty) > 0$
• Ecuación de la recta: Dados $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Polinomios e Interpolación

• Polinomio de Taylor: $f(X_0) + f'(X_0)(X-X_0) + \frac{f''(X_0)}{2!} (X-X_0)^2 + \dots$
• Resto de Lagrange: $| \frac{f^{(n+1)}(\alpha)}{(n+1)!} (X-X_0)^{(n+1)} |$
• Polinomio de Interpolación de Lagrange: $\sum f(x_i)L_i(X)$, donde $L_i = \prod \frac{X-X_j}{X_i-X_j}$
• Diferencias Divididas de Newton: $f[X_0] + f[X_0, X_1](X-X_0) + f[X_0, X_1, X_2](X-X_0)(X-X_1) + \dots$

Cálculo Integral

Teoremas y Reglas de Integración

• Teorema Fundamental del Cálculo (TFC): $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)$
• $\int f^n f' = \frac{f^{n+1}}{n+1} + C$
• $\int e^{f(x)} f'(x) = e^{f(x)} + C$
• $\int \frac{1}{1+f^2} f' = \text{arctg}(f) + C$
• $\int \frac{f'}{\sqrt{1-f^2}} = \text{arcsen}(f) + C$
• Integración por Partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
• $\int \frac{f'}{f(x)} = \ln|f(x)| + C$

Integrales Trigonométricas y Racionales

• $\int \text{sen}^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x)$
• $\int \cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2x)$
• $\int \text{sen}^3(x) = \int \text{sen}^2(x) \text{sen}(x) = -\int (1-t^2) dt$ (donde $t = \cos(x)$).

Integrales Racionales

• Si grado(n) $\geq$ grado(d): División de polinomios $\int \frac{D}{d} = \int C + \int \frac{R}{d}$.
• Si grado(n) $<$ grado(d): Fracciones simples.
• Caso Complejo ($\mathbb{C}$): $\frac{A}{\text{raíz}} + \frac{Mx+N}{\text{polinomio}}$.

Aplicaciones y Métodos Numéricos

• Volumen de una figura: $V(x) = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$
• Regla del Trapecio: $\frac{h}{2} [f(X_0) + 2f(X_1) + 2f(X_2) + \dots + f(X_n)]$ donde $h = \frac{b-a}{n}$.
• Regla de Simpson: $\frac{h}{3} [f(X_0) + 4f(X_1) + f(X_2)]$
• Regla de Simpson Compuesta: $\frac{h}{3} [f(X_0) + 4f(X_1) + 2f(X_2) + \dots + f(X_n)]$