Fundamentos de Cálculo: Continuidad, Asíntotas y Funciones Logarítmicas

Continuidad de una función

Una función es continua en x = a si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

• Existe f(a).
• Existe lim f(x) cuando x → a.
• lim f(x) = f(a) cuando x → a.

Una función es continua en un intervalo (a, b) si y solo si f es continua para todo x perteneciente a dicho intervalo.

Asíntotas de una curva

Asíntota vertical

La recta x = a, con a ∈ ℝ, se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple por lo menos una de las siguientes afirmaciones:

Asíntota horizontal

La recta de ecuación y = L, siendo L un número real, se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones:

• lim f(x) = L cuando x → +∞
• lim f(x) = L cuando x → -∞

Monotonía de funciones

• Una función f se llama monótona creciente si y solo si para x₁ < x₂, ambos elementos de su dominio, se verifica que: f(x₁) ≤ f(x₂).
• Una función f se llama monótona decreciente si y solo si para x₁ < x₂, ambos elementos de su dominio, se verifica que: f(x₁) ≥ f(x₂).

Nota: El límite de f(x) para x que tiende a un valor x = a es L, si y solo si los límites laterales coinciden con L.

Logaritmos

El logaritmo de un número real positivo, respecto de una base positiva distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar esa base para obtener dicho número.

logₐ y = x ⇔ aˣ = y

Propiedades de los logaritmos

Función exponencial

• Es creciente cuando la base es mayor a 1 y decreciente cuando está entre 0 y 1.
• El número que está solo en la ecuación representa el límite horizontal.
• Para hallar el corte con el eje x, igualamos la función a 0 (0 = f(x)); para el corte con el eje y, reemplazamos x por 0.
• El dominio es siempre ℝ.