Fundamentos de Álgebra Lineal: Conceptos y Métodos Esenciales

LEYENDA GLOBAL (Símbolos Clave)

• Variables generales: α (alfa), β (beta), λ (lambda), μ (mu) → Escalares / números reales.

• Matrices: A (Coeficientes), B (Términos independientes), I o Iₙ (Identidad), n (Dimensión/incógnitas), m (Ecuaciones).

• Operadores: rg (Rango), det o |A| (Determinante), tr (Traza), ᵀ (Traspuesta), ⁻¹ (Inversa).

1. SISTEMAS Y MATRICES

• Rouché-Frobenius (Discusión de sistemas):

  • rg(A) ≠ rg(A|B) → SI (Sistema Incompatible: 0 soluciones).

  • rg(A) = rg(A|B) = n → SCD (Sistema Compatible Determinado: 1 solución).

  • rg(A) = rg(A|B) < n → SCI (Sistema Compatible Indeterminado: ∞ soluciones). Parámetros libres = n - rg(A).

• Producto (Aₙₓₚ · Bₚₓₘ): Solo existe si el número de columnas de A coincide con el de filas de B. ¡No conmutativo! (AB ≠ BA).

• Propiedades de Matrices:

  • Traspuesta: (AB)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ (Cambia el orden).

  • Traza (Suma de la diagonal): tr(AB) = tr(BA).

• Inversa (A⁻¹): Existe ↔ det(A) ≠ 0 ↔ rg(A) = n.

  • Método Gauss: (A | Iₙ) → Gauss → (Iₙ | A⁻¹).

2. DETERMINANTES (Atajos de Oro)

• Sacar un escalar: det(α·A) = (αⁿ) · det(A).

• Producto: det(AB) = det(A) · det(B).

• Inversa: det(A⁻¹) = 1 / det(A).

• Traspuesta: det(A) = det(Aᵀ).

• Operaciones (Gauss): Sumar filas (Ej: F₂ = F₂ + α·F₁) NO altera el determinante. Intercambiar filas cambia el signo.

3. ESPACIOS VECTORIALES

• Símbolos: U, W (Subespacios), dim (Dimensión), ∩ (Intersección), + (Suma).

• Independencia Lineal (L.I.): k vectores son L.I. ↔ rg(Matriz) = k.

• Fórmula de Grassmann: dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W).

4. APLICACIONES LINEALES (f: V → W)

• Símbolos: f (Aplicación), V (Dominio), W (Codominio), Ker (Núcleo), Im (Imagen), B꜀ (Base canónica).

• Axioma de Linealidad: f(α·u + β·v) = α·f(u) + β·f(v).

• Fórmula de las Dimensiones (El salvavidas): dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(V).

• Clasificación (Siendo A la matriz asociada de tamaño m x n):

  • Inyectiva: Ker(f) = {0} ↔ dim(Ker(f)) = 0 ↔ rg(A) = n (Columnas).

  • Sobreyectiva: Im(f) = W ↔ dim(Im(f)) = m ↔ rg(A) = m (Filas).

• Ecuación de Cambio de Base: M_B,B'(f) = (P_B',B꜀)⁻¹ · M_B꜀,B꜀(f) · P_B,B꜀.

5. DIAGONALIZACIÓN (A = P · D · P⁻¹)

• Símbolos: λ (Autovalor), v (Autovector), D (Matriz Diagonal), P (Matriz de Paso con autovectores en columnas).

• Polinomio Característico: det(A - λ·I) = 0.

• Multiplicidades:

  • Algebraica (m_λ): Veces que se repite la raíz λ.

  • Geométrica (g_λ): g_λ = n - rg(A - λ·I). (Si m_λ = 1 → g_λ = 1 directo).

• Criterio: Es diagonalizable ↔ todas las raíces son reales y m_λ = g_λ para todo λ.

• Truco para Potencias Grandes: Aᵏ = P · Dᵏ · P⁻¹.

• Comprobación anti-errores: Suma de autovalores = tr(A) // Producto de autovalores = det(A).

6. ESPACIOS EUCLÍDEOS E ISOMETRÍAS

• Símbolos: (Producto escalar), ||u|| (Norma/Longitud), GB (Matriz de Gram), U⊥ (Complemento ortogonal), θ (Ángulo).

• Matriz Gram (GB): Cambio de base → GB' = Pᵀ · GB · P (¡Ojo, es traspuesta, no inversa!).

• Norma y Ángulo: ||u|| = √. // cos(θ) = / (||u|| · ||v||).

• Ortogonalidad: Si = 0 → Son ortogonales (perpendiculares).

• Algoritmo de Gram-Schmidt (Fórmula del 2º vector): v₂ = u₂ - [ / ||v₁||² ] · v₁.

• Isometría (Conserva métrica): Condición matricial → Aᵀ · A = I.

• Ángulo de Giro (en R³): cos(θ) = (tr(A) - 1) / 2.

• Teorema Espectral: Toda matriz simétrica real (A = Aᵀ) es siempre diagonalizable ortogonalmente en R.