Fuerzas Conservativas, Energía y el Movimiento Armónico Simple

Fuerzas Conservativas y Conservación de la Energía Mecánica

Fuerzas dependientes de la posición y Energía Potencial

Otro tipo de fuerzas son aquellas que dependen exclusivamente de la posición de la partícula, es decir, F = F(r). En la naturaleza existen fuerzas dependientes de la posición cuyo trabajo no depende del camino seguido, sino únicamente de la posición inicial y final. A estas fuerzas se les llama fuerzas conservativas y verifican que el trabajo que realizan al trasladar una partícula entre dos posiciones del espacio depende solo de cuáles son esas posiciones y no de la trayectoria.

Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa solo depende de las posiciones inicial y final, existe una función escalar llamada energía potencial (E_p), definida de tal manera que el trabajo (W) es igual al decremento de dicha energía:

W = -ΔE_p = E_p(r₁) - E_p(r₂)

Para un tramo infinitesimal de la trayectoria, la relación se puede describir entonces como:

F(r) ⋅ dr = -dE_p

Ejemplos de Fuerzas Conservativas

• La fuerza elástica en muelles: Descrita por la Ley de Hooke, F = -kx i, donde x representa la deformación del muelle respecto a su posición de equilibrio e i es el vector unitario en la dirección del eje. El diferencial de energía potencial es dE_p = -F ⋅ dr = -(-kx)dx. Integrando esta expresión se llega a que la energía potencial elástica es: E_p(x) = ½kx².
• La fuerza gravitatoria (cerca de la superficie): Se expresa como F = -mg k, con k como vector unitario vertical hacia arriba. El diferencial de energía potencial es dE_p = -(-mg)dz. Al integrar, obtenemos la energía potencial gravitatoria: E_p(z) = mgz.

Principio de Conservación de la Energía Mecánica

Cuando una partícula está sometida a una fuerza total que es conservativa, la suma de su energía cinética (E_c) y su energía potencial (E_p) permanece constante durante su movimiento. En efecto, combinando el teorema de la energía-trabajo (W = ΔE_c) con la definición de energía potencial (W = -ΔE_p), se obtiene:

ΔE_c = -ΔE_p ⟹ ΔE_c + ΔE_p = 0 ⟹ Δ(E_c + E_p) = 0

A la suma de la energía cinética y la energía potencial se le denomina energía mecánica (E) de la partícula. La ecuación anterior expresa la conservación de la energía mecánica de una partícula en un campo de fuerzas conservativo:

E = E_c + E_p(r) = ½mv² + E_p(r) = constante

El Oscilador Armónico Simple (MAS)

Definición y Formulación Matemática

Un sistema mecánico muy simple que realiza un movimiento oscilatorio es una masa m conectada a un resorte de constante elástica k. Si comprimimos o estiramos el resorte desde su posición de equilibrio, se desarrollará una fuerza restauradora que tiende a devolverlo a dicha posición. Si designamos la posición de equilibrio como x = 0 y la masa m es desplazada una distancia x, la fuerza ejercida sobre ella viene dada por la Ley de Hooke: F = -kx.

La ecuación del desplazamiento x(t) en función del tiempo contiene dos constantes arbitrarias, la amplitud (A) y la fase inicial (φ), y tiene la siguiente forma:

x(t) = A sen(ωt + φ)

Derivando respecto al tiempo, obtenemos la velocidad y la aceleración:

• Velocidad: v(t) = Aω cos(ωt + φ)
• Aceleración: a(t) = -Aω² sen(ωt + φ) = -ω²x

Parámetros del Movimiento Oscilatorio

• Amplitud (A): Es la máxima elongación o desplazamiento desde la posición de equilibrio.
• Fase (θ = ωt + φ): Es el argumento de la función seno, un ángulo que se incrementa linealmente con el tiempo.
• Período (T): Es el tiempo que tarda en completarse un ciclo u oscilación completa. Su fórmula es T = 2π/ω, donde ω es la frecuencia angular.

Otros Ejemplos de Movimiento Armónico Simple

Otras oscilaciones que, bajo ciertas aproximaciones, describen un movimiento armónico simple son:

• El péndulo simple.
• El péndulo físico.
• Una masa en el centro de una cuerda tensa sujeta por ambos extremos.
• Un cuerpo de masa m flotando en un líquido de densidad ρ, con un cuello de sección transversal constante que corta la superficie del líquido.

Consideraciones Energéticas en el MAS

La energía total del oscilador armónico simple libre debe conservarse, ya que la fuerza elástica es conservativa. El hecho de que la velocidad sea nula en el desplazamiento máximo (x = ±A) y máxima en la posición de equilibrio (x = 0) ilustra el concepto de intercambio continuo entre la energía potencial y la energía cinética, permaneciendo constante la energía total.

E = E_p + E_c = E_{p, máx} = E_{c, máx}

La energía potencial es máxima cuando x = ±A y, por tanto:

E_{p, máx} = ½kA²

La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima (en x = 0) y es igual a:

E_{c, máx} = ½mv_máx² = ½k A²