Resumen de funciones, trigonometría y resolución de triángulos

Estudio Completo de Funciones

Propiedades Principales

• Dominio y Puntos de Corte:
  • En X: Calculas la x igualando a cero.
  • En Y: Sustituyes la x por 0 en la función.
• Regionamiento: Ver en qué partes existe la función con los números de x, los puntos de corte y el dominio.
• Asíntotas:
  • A.V. (Vertical): Límite cuando x tiende al número del dominio (tiene que salir un número partido de 0). Se deben hacer los límites laterales del número del dominio por la izquierda y la derecha para saber si tienden a $+\infty$ o $-\infty$.
  • A.H. (Horizontal): Límite cuando x tiende a infinito (tiene que salir un número).
  • A.O. (Oblicua): $y = mx + n$, donde $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$, y $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$. Para representarla, si es afín, hacemos una tabla dándole a la x los valores que queramos.
• Simetría:
  • Par: $f(x) = f(-x)$
  • Impar: $f(-x) = -f(x)$
• Monotonía: Derivada de $f(x)$, sacamos los valores de x. Con esos valores más los puntos de corte en x y el dominio, sustituimos en la derivada para saber en qué trozos sube y baja.
• Máximos y Mínimos: Sustituimos los valores de los máximos y mínimos en $f(x)$.

Identidades y Razones Trigonométricas

Identidades Fundamentales

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (despejamos seno o coseno en la fórmula de la tangente y sustituimos en la de seno y coseno).
• $\csc x = \frac{1}{\sin x}$
• $\sec x = \frac{1}{\cos x}$
• $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

Reducción a otros Cuadrantes

• 2º Cuadrante: $\beta = 180^{\circ} - x$ | $\sin(\beta) = \sin(x)$ | $\cos(\beta) = -\cos(x)$ | $\tan(\beta) = -\tan(x)$
• 3er Cuadrante: $\beta = 180^{\circ} + x$ | $\sin(\beta) = -\sin(x)$ | $\cos(\beta) = -\cos(x)$ | $\tan(\beta) = \tan(x)$
• 4º Cuadrante: $\beta = 360^{\circ} - x$ | $\sin(\beta) = -\sin(x)$ | $\cos(\beta) = \cos(x)$ | $\tan(\beta) = -\tan(x)$
• 1er Cuadrante: $\beta = 90^{\circ} - x$ | $\sin(\beta) = \cos(x)$

Valores de Ángulos Notables

• Seno:
  • $30^{\circ}: \frac{1}{2}$
  • $45^{\circ}: \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $60^{\circ}: \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $0^{\circ}$ o $360^{\circ}: 0$
  • $90^{\circ}: 1$
  • $180^{\circ}: 0$
  • $270^{\circ}: -1$
• Coseno:
  • $30^{\circ}: \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $45^{\circ}: \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $60^{\circ}: \frac{1}{2}$
  • $0^{\circ}$ o $360^{\circ}: 1$
  • $90^{\circ}: 0$
  • $180^{\circ}: -1$
  • $270^{\circ}: 0$
• Tangente:
  • $30^{\circ}: \frac{\sqrt{3}}{3}$
  • $45^{\circ}: 1$
  • $60^{\circ}: \sqrt{3}$
  • $0^{\circ}$ o $360^{\circ}: 0$
  • $90^{\circ}: \nexists$ (o tiende a infinito)
  • $180^{\circ}: 0$

Problemas de Optimización

Planteas las ecuaciones, sustituyes uno de los valores en el área, derivas y calculas los valores óptimos.

Áreas y Figuras Geométricas

• Área del Rectángulo: $b \cdot h$
• Área del Triángulo: $\frac{b \cdot h}{2}$
• Triángulo Isósceles: 2 lados iguales y 2 ángulos iguales.
• Triángulo Equilátero: Ángulos de $60^{\circ}$ y todos los lados iguales.

Resolución de Triángulos

Triángulos Rectángulos

• Suma de ángulos: $180^{\circ}$ (el ángulo recto mide $90^{\circ}$).
• Teorema de Pitágoras:
  • $\text{Hipotenusa} = \sqrt{b^2 + c^2}$
  • $\text{Cateto} = \sqrt{h^2 - c^2}$
• Razones Trigonométricas:
  • $\sin(x) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
  • $\cos(x) = \frac{\text{Cateto Contiguo}}{\text{Hipotenusa}}$
  • $\tan(x) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Contiguo}}$

Triángulos No Rectángulos

• Teorema del Seno: $\frac{a}{\sin(a)} = \frac{b}{\sin(b)} = \frac{c}{\sin(c)} = 2r$
• Teorema del Coseno:
  • $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(a)$
  • $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(b)$
  • $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(c)$
  • $\cos(a) = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2bc}$

Resolución de Ecuaciones

• Cuando la ecuación está igualada a 0, puedes elevar al cuadrado ambos lados para aplicar identidades notables.
• Puedes sacar factor común.
• Intenta buscar ecuaciones de segundo grado.
• Puedes pasar el denominador al otro lado multiplicando para eliminarlo si hay un 0 en el otro miembro.