¿Cómo se calcula la altura respecto al geoide a partir de la altura elipsoidal?

Se aplica la relación H = h − N, donde h es la altura elipsoidal y N la ondulación del geoide respecto al elipsoide. En el ejercicio, HA = hA − NA.

¿Qué umbrales se usan para detener el cálculo iterativo de las coordenadas de B?

El proceso se detiene cuando las correcciones son inferiores a 10⁻¹⁰ rad en latitud y 10⁻⁵ m en altura.

Cálculo geodésico en el elipsoide GRS80: coordenadas, radios de curvatura y sistema ENU

Resumen

Ejercicio práctico de geodesia sobre el elipsoide GRS80 que determina coordenadas geodésicas y cartesianas geocéntricas, radios de curvatura y coordenadas topocéntricas locales (e, n, u) entre dos puntos. Además se obtienen el acimut, el ángulo cenital y la distancia espacial, así como la altura respecto al geoide.

Puntos clave

El elipsoide GRS80 tiene semieje mayor a = 6 378 137 m e inverso del aplanamiento 1/f = 298.25722.
El radio de curvatura del primer vertical es N = a / √(1 − e² sin² φ).
El radio de curvatura del paralelo es p = a(1 − e²) / √((1 − e² sin² φ)³).
Las coordenadas cartesianas geocéntricas de A se calculan con X = (N + h) cos φ cos λ, Y = (N + h) cos φ sin λ y Z = (N(1 − e²) + h) sin φ.
La latitud de B se obtiene de forma iterativa hasta que las correcciones sean inferiores a 10⁻¹⁰ rad en latitud y 10⁻⁵ m en altura.
En el sistema ENU, el acimut es arctan(e / n), el ángulo cenital arccos(u / D) y la distancia espacial D = √(ΔX² + ΔY² + ΔZ²).
La altura respecto al geoide se calcula como H = h − N.

Ponte a prueba

Cálculo Geodésico en el Elipsoide GRS80

A continuación se presenta un ejercicio práctico de geodesia sobre el elipsoide GRS80, en el que se determinan coordenadas geodésicas, radios de curvatura, coordenadas cartesianas geocéntricas y coordenadas topocéntricas locales (e, n, u), así como el acimut, el ángulo cenital y la distancia espacial entre dos puntos.

1. Coordenadas geodésicas del punto A (elipsoide GRS80)

Latitud (φ_A): [40° 24' 9.98375"]
Longitud (λ_A): [4° 1' 46.06045"]
Altura elipsoidal (h_A): 689.080 m

2. Incrementos de coordenadas cartesianas geocéntricas entre los puntos A y B

ΔX = -2426.335 m
ΔY = 6841.359 m
ΔZ = 3332.782 m

3. Ondulaciones del geoide respecto al elipsoide GRS80

N_A = 49.907 m
N_B = 49.896 m

4. Radio de curvatura medio del punto A

Parámetros del elipsoide GRS80:

Semieje mayor: a = 6 378 137 m
Inverso del aplanamiento: 1/f = 298.25722
Primera excentricidad al cuadrado: e² = f(2 − f)

4.1. Radio de curvatura del primer vertical (gran normal)

$$N_A = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2 \varphi_A}}$$

4.2. Radio de curvatura del paralelo

$$p_A = \frac{a(1 - e^2)}{\sqrt{(1 - e^2 \sin^2 \varphi_A)^3}}$$

4.3. Radio medio en el punto de latitud dada

$$R_{mA} = \frac{2 N_A p_A}{N_A + p_A}$$

5. Coordenadas cartesianas geocéntricas del punto A

X_A = (N_A + h_A) cos φ_A cos λ_A
Y_A = (N_A + h_A) cos φ_A sin λ_A
Z_A = (N_A(1 − e²) + h_A) sin φ_A

6. Coordenadas cartesianas geocéntricas del punto B

X_B = X_A + ΔX
Y_B = Y_A + ΔY
Z_B = Z_A + ΔZ

7. Cálculo iterativo de las coordenadas geodésicas del punto B

Se calcula p_B = √(X_B² + Y_B²) y se inicia un proceso iterativo para obtener la latitud y la altura elipsoidal de B, hasta que las correcciones sean inferiores a los umbrales establecidos (10^-10 rad en latitud y 10^-5 m en altura):

N_B = a(1 − e² sin² φ_B)^−1/2
h_B = Z_B / sin φ_B − N_B(1 − e²)
φ_B = arctan[ Z_B(N_B + h_B) / (p_B(N_B(1 − e²) + h_B)) ]

La longitud se obtiene como λ_B = arctan(Y_B / X_B).

8. Diferencia de longitud de arco de paralelo

Se calcula el incremento de longitud Δλ = λ_B − λ_A y la distancia sobre el paralelo:

$$d_{par} = N_A \cos\varphi_A \, \Delta\lambda$$

9. Coordenadas topocéntricas locales (e, n, u) del punto B

Tomando el punto A como origen del sistema local, se calculan los incrementos cartesianos:

ΔX_AB = X − X_A
ΔY_AB = Y − Y_A
ΔZ_AB = Z − Z_A

y la transformación al sistema ENU:

e = −sin λ_A ΔX + cos λ_A ΔY
n = −sin φ_A cos λ_A ΔX − sin φ_A sin λ_A ΔY + cos φ_A ΔZ
u = cos φ_A cos λ_A ΔX + cos φ_A sin λ_A ΔY + sin φ_A ΔZ

10. Acimut geodésico, ángulo cenital y distancia espacial entre A y B

Acimut (α): arctan(e / n)
Ángulo cenital (β): arccos(u / D)
Distancia espacial (D): √(ΔX² + ΔY² + ΔZ²)

11. Altura respecto al geoide (H)

Aplicando la relación H = h − N:

H_A = h_A − N_A
H_B = h_B − N_B

Conclusión

Este ejercicio integra los principales conceptos de la geodesia geométrica: transformación entre sistemas de coordenadas geodésicas y cartesianas, cálculo de radios de curvatura, resolución iterativa del problema geodésico inverso en coordenadas geocéntricas, y obtención de elementos de observación locales (acimut, ángulo cenital y distancia) para su aplicación en topografía, cartografía y posicionamiento GNSS.