Fórmulas de Interacción Gravitatoria e Movemento de Satélites en Física

Interacción gravitatoria

• Momento angular: L⃗ = r⃗ × p⃗ = r⃗ × m·v⃗ (kg·m²/s)
• Velocidade areolar: v_a = L / (2m) (m²/s)
• Lei dos períodos de revolución (3ª lei de Kepler): T₁² / r₁³ = T₂² / r₂³
• Lei de Gravitación Universal de Newton: F⃗ = −G·(M·m / r²)·u⃗_r (N)
• Intensidade do campo gravitatorio: g⃗ = −G·(M / r²)·u⃗_r (m/s² ou N/kg)

Campo gravitatorio terrestre e enerxía

• a) Na superficie terrestre: g₀ = G·M_T / R_T² = (4/3)·π·G·d_T·R_T ≈ 9,8 N/kg
• b) Variación de g coa altura (h):
  • g = G·M / (R_T + h)² = g₀·R_T² / (R_T + h)²
  • g = G·M / R² = g₀·R_T² / R² (sendo R > R_T e R = R_T + h)
• c) Variación de g coa profundidade (h′): g = g₀·r / R_T (sendo r < R_T e r = R_T − h′)
• Peso dun corpo: P = m·g (N)
• Período dun péndulo simple: T = 2π·√(L / g) (s)
• Enerxía potencial gravitatoria nun punto A: E_p = −G·(M·m / r_A) (J)
• Enerxía cinética nun punto A (órbita circular): E_c = ½·m·v² = ½·G·(M·m / r_A) (J)
• Enerxía mecánica total nun punto A: E_m = E_c + E_p = −½·G·(M·m / r_A) (J)
• Potencial gravitatorio V nun punto A: V_A = E_p / m = −G·M / r_A (J/kg)
• Traballo realizado polo campo gravitatorio de A ata B: W_A→B = −ΔE_p = −(E_pB − E_pA) = E_pA − E_pB = m·(V_A − V_B) = −m·(V_B − V_A) (J)
• Teorema das forzas vivas e forzas conservativas:
  • Forzas conservativas: W = −ΔE_p
  • Forzas totais (conservativas e non conservativas): W_total = ΔE_c
• Fluxo gravitatorio (Teorema de Gauss): Φ = ∮ g⃗·dS⃗ = −4πG·M_int

Movemento de satélites

Parámetros fundamentais (M: masa do corpo central; m: masa do satélite):

• Velocidade orbital dun satélite:
  A forza centrípeta vén dada pola gravitatoria: F_G = F_c ⇒ G·M·m / r² = m·v² / r
  Polo tanto: v₀ = √(G·M / r) = √(g₀·R_T² / r), con r = R_T + h
• Enerxía do satélite na súa órbita:
  E_m = E_c + E_p = ½·(G·M·m / r) − (G·M·m / r) = −½·(G·M·m / r) (J)
• Velocidade de escape:
  Para chegar ao infinito con velocidade nula: E_mA = E_m∞ ⇒ −G·M·m / r + ½·m·v_e² = 0 ⇒ v_e = √(2·G·M / r) = √(2·g₀·R_T² / r)
• Período dun satélite: T = 2π / ω = 2π·r / v = √(4π²·r³ / (G·M)) (s)
• Raio da órbita: r = ³√(G·M·T² / (4π²)) (m)
• Satélites xeoestacionarios: O período de revolución arredor do planeta é igual ao período de rotación do planeta (na Terra: T = 1 día = 24 h = 86400 s).
• Principio de conservación da enerxía mecánica: E_m(i) = E_m(f) ou E_m(A) = E_m(B)
• Velocidade de lanzamento para acadar unha altura h (cunha velocidade final v_f = 0):
  ½·m·v² − G·M·m / R = 0 − G·M·m / (R + h)
• Enerxía de posta en órbita (ou de satelización) desde a Terra:
  E_necesaria = G·M_T·m / R_T − ½·G·M_T·m / (R_T + h) (J)
• Traballo para cambiar un satélite de órbita:
  W_1→2 = ΔE_m = G·M_T·m·(1 / (2R₁) − 1 / (2R₂)) = (G·M_T·m / 2)·(1 / R₁ − 1 / R₂) (J)