Fórmulas Esenciales de Cálculo Diferencial e Integral
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Recopilación de Fórmulas Fundamentales de Cálculo
Este documento presenta una tabla resumen de las reglas esenciales para el cálculo de derivadas e integrales de funciones comunes.
Tabla de Derivadas
| Cálculo de Derivadas | Cálculo de Derivadas (Continuación) | |||
|---|---|---|---|---|
| Función $Y$ | Función Derivada $Y'$ | Función $Y$ | Función Derivada $Y'$ | |
| $Y = k$ (Constante) | $Y' = 0$ | $Y = x$ | $Y' = 1$ | |
| $Y = u + v + w$ | $Y' = u' + v' + w'$ | $Y = u \cdot v$ (Regla del Producto) | $Y' = u \cdot v' + u' \cdot v$ | |
| $Y = \frac{u}{v}$ (Regla del Cociente) | $Y' = \frac{v \cdot u' – v' \cdot u}{v^2}$ | $Y = \log_b u$ | $Y' = \frac{u'}{u} \cdot \log_b e \quad (*)$ | |
| $Y = u^n$ | $Y' = u' \cdot n \cdot u^{n-1}$ | $Y = \ln u$ | $Y' = \frac{u'}{u}$ | |
| $Y = k^u$ | $Y' = u' \cdot k^u \cdot \ln k \quad (*)$ | $Y = e^u$ | $Y' = u' \cdot e^u$ | |
| $Y = \text{sen } u$ | $Y' = u' \cdot \cos u$ | $Y = \csc u$ | $Y' = –u' \cdot \csc u \cdot \cotg u$ | |
| $Y = \cos u$ | $Y' = –u' \cdot \text{sen } u$ | $Y = \sec u$ | $Y' = u' \cdot \sec u \cdot \text{tg } u$ | |
| $Y = \text{tg } u$ | $Y' = u' \cdot (1 + \text{tg}^2 u) \quad (**)$ | $Y = \cotg u$ | $Y' = –u' \cdot \csc^2 u$ | |
| $Y = \text{arsen } u$ | $Y' = \frac{u'}{\sqrt{1 – u^2}}$ | $Y = \text{arcosec } u$ | $Y' = \frac{–u'}{|u|\sqrt{u^2 – 1}}$ | |
| $Y = \arccos u$ | $Y' = \frac{–u'}{\sqrt{1 – u^2}}$ | $Y = \text{arcsec } u$ | $Y' = \frac{u'}{|u|\sqrt{u^2 – 1}}$ | |
| $Y = \text{artg } u$ | $Y' = \frac{u'}{1 + u^2}$ | $Y = \text{arcotg } u$ | $Y' = \frac{–u'}{1 + u^2}$ | |
| $Y = u^v$ | $Y' = v' \cdot u^v \cdot \ln u + v \cdot u^{v-1} \cdot u'$ | |||
Derivación Logarítmica: $Y = f(x) \implies \ln Y = \ln f(x) \implies \frac{Y'}{Y} = (\ln f(x))' \implies Y' = Y \cdot (\ln f(x))'$ | ||||
Notas Aclaratorias:
| ||||
Convenciones: $u, v, w$ son funciones de $x$; $u'$ es la derivada de $u$ respecto de $x$; $k$ es una constante; $\ln$ es el logaritmo natural (base $e$); $n$ y $b$ son números racionales; $|u|$ es el valor absoluto de $u$. | ||||
Tabla de Integrales Indefinidas
| Cálculo de Integrales | Cálculo de Integrales (Continuación) | |||
|---|---|---|---|---|
| Función a Integrar | Función Integral | Función a Integrar | Función Integral | |
| $\int k \, du$ | $k \cdot u$ | $\int k \cdot u(x) \, dx$ | $k \int u(x) \, dx$ | |
| $\int (u \pm v \pm w) \, du$ | $\int u \, dx \pm \int v \, dx \pm \int w \, dx$ | $\int u^n \, du$ | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ | |
| $\int u \, dv$ (Integración por Partes) | $u \cdot v – \int v \cdot du$ | $\int f(kx) \, dx$ | $\frac{1}{k} \int f(u) \, du$ | |
| $\int \frac{du}{u}$ | $\ln |u|$ | $\int e^u \, du$ | $e^u$ | |
| $\int k^u \, du$ | $\frac{k^u}{\ln k} \quad (k > 0; k \neq 1)$ | $\int \sqrt{u} \, du$ | $\frac{2}{3} u^{3/2}$ | |
| $\int \text{sen } u \, du$ | $-\cos u$ | $\int \cos u \, du$ | $\text{sen } u$ | |
| $\int \text{tg } u \, du$ | $\ln |\sec u| = – \ln |\cos u|$ | $\int \cotg u \, du$ | $\ln |\text{sen } u|$ | |
| $\int \sec^2 u \, du$ | $\text{tg } u$ | $\int \csc^2 u \, du$ | $-\cotg u$ | |
| $\int \sec u \cdot \text{tg } u \, du$ | $\sec u$ | $\int \csc u \cdot \cotg u \, du$ | $-\csc u$ | |
| $\int \sec u \, du$ | $\ln |\sec u + \text{tg } u|$ | $\int \csc u \, du$ | $\ln |\csc u - \cotg u|$ | |
| $\int \text{sen}^2 u \, du$ | $\frac{1}{2} u – \frac{1}{4} \text{sen} (2u)$ | $\int \cos^2 u \, du$ | $\frac{1}{2} u + \frac{1}{4} \text{sen} (2u)$ | |
| $\int \text{tg}^2 u \, du$ | $-u + \text{tg } u$ | $\int \sec^2 u \, du$ | $\text{tg } u$ | |
| $\int \frac{\text{sen } u}{\cos^2 u} \, du$ | $\sec u$ | $\int \frac{\cos u}{\text{sen}^2 u} \, du$ | $-\csc u$ | |
| $\int \frac{du}{\sqrt{1 – u^2}}$ | $\text{arsen } u = –\arccos u$ | $\int \frac{du}{1 + u^2}$ | $\text{artg } u = –\text{arcotg } u$ | |
| $\int \frac{du}{u^2 + k^2}$ | $\frac{1}{k} \cdot \text{artg } \frac{u}{k}$ | $\int \frac{du}{u^2 – k^2}$ | $\frac{1}{2k} \ln \left| \frac{u – k}{u + k} \right|$ | |
| $\int \frac{du}{k^2 – u^2}$ | $\frac{1}{2k} \ln \left| \frac{k + u}{k – u} \right|$ | $\int \frac{du}{\sqrt{k^2 + u^2}}$ | $\ln \left( u + \sqrt{k^2 + u^2} \right)$ | |
| $\int \frac{du}{\sqrt{k^2 – u^2}}$ | $\text{arsen } \frac{u}{k}$ | $\int \frac{du}{u \sqrt{u^2 – k^2}}$ | $-\frac{1}{k} \cdot \text{arcosec } \frac{u}{k}$ | |
| $\int \frac{du}{u \sqrt{u^2 – k^2}}$ | $-\frac{1}{k} \cdot \text{arcosec } \frac{u}{k}$ | $\int \frac{du}{u \sqrt{u^2 – k^2}}$ | $-\frac{1}{k} \cdot \text{arcosec } \frac{u}{k}$ | |
Nota Importante: En todas las integrales indefinidas se debe sumar la constante de integración ($C$). Se asume que $k \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{Q}$, y $u, v, w$ son funciones de $x$. | ||||