Fórmulas y Definiciones Esenciales de Cuerpos Geométricos 3D

El Prisma: Definición y Clasificación

El prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos (bases), y varios paralelogramos (caras laterales).

• h: Distancia entre las bases (altura).

Tipos de Prismas

• Prisma Recto: Las caras laterales son rectángulos perpendiculares a la base.
• Prisma Oblicuo: Las caras laterales no son perpendiculares a las bases.

Clasificación según la base

• Prisma Triangular
• Prisma Rectangular
• Prisma Pentagonal

Fórmulas del Prisma

• Área Lateral (A_lat): Perímetro de la base × h
• Área Total (A_Total): A_lat + 2 × A_base
• Volumen (V): A_base × h

Ortoedro

El ortoedro es un prisma recto cuyas bases son rectángulos (también conocido como paralelepípedo rectangular).

Fórmula del Área Total

A_Total = 2(ab + bc + ac)

Pirámides

La pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que convergen en un vértice común.

Pirámide Regular

La base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de la base.

• Las aristas laterales son iguales.
• Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
• La altura de los triángulos laterales es la apotema de la pirámide.

Clasificación según la base

• Pirámides triangulares
• Pirámides cuadrangulares

Fórmulas de la Pirámide

• Área Lateral (A_lat): (Perímetro de la base × a) / 2
  (Donde 'a' es la apotema de la pirámide)
• Área de la Base (A_base): (Perímetro de la base × a') / 2
  (Donde 'a’' es la apotema de la base)
• Volumen (V): (A_base × h) / 3

Tronco de Pirámide

Se obtiene al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base.

• Posee dos bases que son polígonos semejantes.
• h: Distancia entre las bases (altura).

Tronco de Pirámide Regular

Proviene de una pirámide regular.

• Las caras laterales son trapecios isósceles iguales.
• La altura de las caras laterales es la apotema del tronco de la pirámide.

Fórmula del Área Lateral

A_lat = [(Suma de perímetros de las dos bases) / 2] × a
(Donde 'a' es la apotema de la cara lateral)

Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos)

Sus caras son polígonos regulares idénticos. En cada vértice coincide el mismo número de caras.

Fórmulas de Área (A)

Nota: Estas fórmulas son específicas para cada sólido y pueden variar según la notación utilizada.

• Área Total (A): Área de la base × número de caras
• Tetraedro: A = 2 × A_b × h
• Hexaedro (Cubo): 6 × L²
• Octoedro: A = 4 × A_b × h
• Dodecaedro: 6 × P × apotema
• Icosaedro: A = 10 × A_b × h

Cilindro: Cuerpo de Revolución

Se genera al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Es un cuerpo de revolución.

• Bases: Círculos.
• h: Distancia entre las bases (altura).

Fórmulas del Cilindro

• Área Lateral (A_lat): 2Πr × h
• Área de las Bases (2 × A_base): 2Πr²
• Volumen (V): 2Πr² × h

Cono: Cuerpo de Revolución

Se genera al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Es un cuerpo de revolución.

• h: Distancia del vértice a la base (altura).
• g: Generatriz (hipotenusa del triángulo rectángulo).

Fórmulas del Cono

• Área Lateral (A_lat): Πrg
• Área de la Base (A_base): Πr²
• Volumen (V): (Πr² × h) / 3

Tronco de Cono: Cuerpo de Revolución

Se obtiene al cortar un cono por un plano paralelo a la base. Es un cuerpo de revolución, generado al girar un trapecio rectángulo alrededor de su altura.

• Posee dos bases circulares.
• h: Distancia entre bases (altura).
• g: Generatriz (segmento que crea la superficie lateral).

Fórmulas del Tronco de Cono

• Área Lateral (A_lat): Π(r + R)g
• Área de las Bases (A_bases): Πr² + ΠR²

Esfera: Cuerpo de Revolución

Se genera al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Es un cuerpo de revolución, determinada por su radio (R).

Secciones Planas

• Plano pasa por el centro: El radio de la sección es igual al radio de la esfera (Círculo Máximo).
• Plano NO pasa por el centro:
  • R: Radio de la esfera.
  • r: Radio de la circunferencia del plano.
  • d: Distancia desde O (centro).

Fórmulas de la Esfera

• Área de la Esfera (A): 4ΠR²
• Área de la Zona Esférica (A): 2ΠRh

• Volumen (V): (4ΠR³) / 3