Formulario y Teoremas Fundamentales de Cálculo y Matemáticas Avanzadas

Teorema (Taylor):

Sea f : A ⊆ R → R una función con derivadas continuas de orden n en un entorno Ea,r, siendo a un punto interior de A.

Entonces, para cada x ∈ Ea,r, se cumple: f (x) = f (a)+f´(a)(x −a)+ 1/2f´´(a)(x-a)² +. . .+1/n!. F⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ+Rn(x). Donde lımx→aRn(x)/(x − a)ⁿ= 0

Primitiva:

Definici ́on: Si f : A ⊆ R → R es una función continua e I un intervalo contenido en A, se dice que F es una primitiva de f en I si se cumple que F´(x)=f (x) ∀x ∈ I.

Integraci ́on por partes:

Teorema: Si f , g : [a, b] → R son funciones con derivada continua entonces: S_a^bf´(x)g(x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −S_a^bf (x)g´(x)dx

Teorema fundamental del C ́alculo Integral:

Teorema:Si f : [a, b] → R es continua entonces F : F(x) =S_a^x f (t)dt es derivable y F´(x) = f (x) ∀x ∈ [a, b].

Generalizaci on del Teorema fundamental del Cálculo Integral:

Teorema:Sean f una funci on continua, u y v funciones derivables, entonces G : G(x) = S_u(x)^v(x) f (t)dt es derivable y se verifica G´(x) = f (v(x)).V´(x) − f (u(x)).U´(x).

Integración por sustitución (o cambio de variable):

Teorema: Sean g una función con derivada continua en [a, b] y f continua en g ([a, b]), entonces S_a^bf(g(x)).G´(x)dx =S_g(a)^g(b) f (u)du con u = g(x) y du = g´(x)dx.

Demostración:

Consideremos F una primitiva de f , luego por la regla de la cadena se tiene que F(g(x))´= F´(g(x))g´(x) = f (g(x))g´(x), entonces: *S_a^bf(g(x)).G´(x)dx = [F (g(x)]_a^b= F(g(b)) − F(g(a)), *S_g(a)^g(b)f (u)du =[F(u)]_g(a)^g(b) = F (g(b)) − F (g(a)), de donde se concluye S_a^bf(g(x)).G´(x)dx =S_g(a)^g(b)f (u)du 

Integración por partes:

Teorema: Si f , g : [a, b] → R son funciones con derivada continua entonces: S_a^b f´(x)g(x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − S_a^b f (x)g´(x)dx, 

Demostración:

Consideramos el producto fg y lo derivamos, (f (x)g(x))´= f´(x)g(x) + f (x)g´(x)⇒ f (x)g(x) una primitiva de f´(x)g(x) + f (x)g´(x) y se tiene que S_a^b (f´(x)g(x) + f (x)g´(x))dx = [f (x)g(x)]_a^b = f (b)g(b) − f (a)g(a) entonces S_a^b f´(x)g(x)dx + S_a^b f (x)g´(x))dx = f (b)g(b) − f (a)g(a)

Bola:

Definición:

Abierta:

B(a,b),r = {(x, y) ∈ R²: //(x, y) − (a, b)// < r}, cerrada:
B ̄(a, b),r = {(x, y) ∈ R²: //(x, y) − (a, b)// ≤ r}, reducida:
B*(a, b),r = {(x, y) ∈ R²: 0 < //(x, y) − (a, b)// < r}

Punto interior de un conjunto:

Definición: Si A ⊆ R², diremos que (a, b) es un punto interior del conjunto A si existe una bola
B(a,b),r contenida en A.

Punto frontera:

Definición: Si A ⊆ R², (a, b) es un punto frontera de A ⇔ B(a,b),r ∩ A =/ ∅ y B(a,b),r ∩ A^c =/ ∅ ∀r > 0.

Conjunto acotado:

Definición: Si A ⊆ R² decimos que A esta acotado si existe r > 0 tal que A ⊂ B0,r

Punto de acumulación de un conjunto:

Definición: Si A ⊆ R², (a, b) es un punto de acumulación de A si ∀ r > 0 B*(a,b),r ∩ A =/ ∅.

Grafico:

Definición: Si f : A ⊆ R² → R es una función, llamamos grafico de f al conjunto graf (f ) = {(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ A, z = f (x, y)}

Curvas de nivel:

Definición: Si f : A ⊆ R²→ R, llamamos curva de nivel α de f al conjuntoC_f,α = {(x, y) ∈ A : f (x, y) = α}.

Lımite para funciones de dos variables:

lım(x,y)→(a,b) f (x, y) = L si y solo si ∀ ε> 0, ∃ δ > 0 tal que si (x, y) ∈ B*(a,b),δ ∩ A entonces se cumple |f (x, y) − L| <ε 

Definición de lımite para una función de n variables:
Definición: Sean f : A ⊆ Rⁿ→ R, L ∈ R y p un punto de acumulaci ́on de A: lım x→p f (x) = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si x ∈ B*p,δ ∩ A entonces |f (x) − L| < ε 

Lımite y trayectorias:

Teorema: Si f : A ⊆ Rⁿ→ R, B ⊂ A, p punto de acumulación de B y lım x→p f (x) = L entonces lım x→p f (x)|_B = L.

Acotado por cero:

Teorema: Sean f , g : A ⊆ Rⁿ→ R, p punto de acumulación de A, tal que lım x→p f (x) = 0 y g esta acotada en A entonces lım x→p f (x)g(x) = 0.

Composición de funciones continuas:

Teorema: Sean g : A ⊆ Rⁿ→ R continua en p ∈ A y f : B ⊆ R → R continua en g(p) ∈ B, g(A) ⊆ B. Entonces f ◦ g : A ⊆ Rⁿ→ R es continua en p.

Función continua en un conjunto:

Observación: Si una función f es continua para cualquier x en un conjunto A decimos que f es continua en A.