Formulario de Matemáticas: Optimización, Geometría, Probabilidad e Integrales

Resumen de Métodos y Fórmulas Matemáticas

1. Optimización de Funciones

Para resolver problemas de optimización, sigue estos pasos:

• 1- Planteamiento del sistema de 2 ecuaciones.
• 2- Resolución de la primera ecuación y sustitución en la otra.
• 4- Cálculo de la primera derivada para hallar el punto crítico.
• 5- Igualar a 0 (f'(x) = 0) para despejar la incógnita.
• 6- Cálculo de la segunda derivada para determinar si es un máximo o mínimo:
  • Si f''(a) < 0, es un máximo.
  • Si f''(a) > 0, es un mínimo.
  • Si f''(a) = 0, se requiere un análisis del intervalo.
• 7- Se resuelve el problema final.

2. Geometría Analítica

• Vector entre dos puntos: AB = B - A.
• Ángulo entre vectores: cos α = |n · n| / (|n| |n|).
• Producto vectorial: Si falta un vector, utilizar el determinante |i j k|.
• Paralelismo (||): Indica linealmente dependientes.
• Perpendicularidad: Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero: Vr · Vs = 0.
• Posición relativa:
  • Si el determinante de los vectores = 0, las rectas se cortan.
  • Si el determinante ≠ 0, las rectas se cruzan.

3. Probabilidad y Estadística

Distribución Binomial: B(n, p)

• Fórmula: P(X = k) = (n sobre k) · pk · qn-k.
• Esperanza matemática (η): E(X) = n · p (o q según el caso).
• Cálculo acumulado: P(X ≤ a) = 1 - (suma de probabilidades complementarias).

Probabilidad de Sucesos

• Unión e Intersección: P(T ∩ S) = P(S) · P(T/S).
• Probabilidad Total: P(T) = P(S ∩ T) + P(R ∩ T).
• Probabilidad Condicionada: P(T/S) = P(T ∩ S) / P(S).
• Independencia (Diagrama de Árbol): P(T ∩ S) = P(T) · P(S).

4. Dominio de Funciones

• Funciones racionales f(x/y): El dominio excluye donde y = 0.
• Funciones irracionales f(√x): Definido para x ≥ 0.
• Raíces impares f(³√x): El dominio es Todo R.
• Funciones logarítmicas f(log x): Definido para x > 0.

5. Cálculo Integral

Integrales Básicas

• ∫ e^x dx = e^x + k
• ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
• ∫ 1 dx = x + k
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + k
• ∫ x^-1 dx = ∫ 1/x dx = ln|x| + k
• ∫ sen x dx = -cos x + k
• ∫ cos x dx = sen x + k
• ∫ tg x dx = -ln|cos x| + k
• ∫ (1 + tg²x) dx = tg x + k

Integrales Inmediatas (Compuestas)

• ∫ fⁿ · f' dx = fⁿ⁺¹ / (n+1)
• ∫ f' / f dx = ln|f| + k
• ∫ e^f · f' dx = e^f + k
• ∫ ln f · f' dx = f · ln f - f + k
• ∫ sen f · f' dx = -cos f + k
• ∫ cos f · f' dx = sen f + k
• ∫ tg f · f' dx = -ln|cos f| + k

6. Cálculo de Áreas

1. Igualar funciones (y = y) para obtener los límites de integración x₁ y x₂.
2. Restar la función mayor menos la menor: y_(may) - y_(min) = G(x).
3. Calcular la integral definida: ∫_x1^x2 G(x) dx.
4. Aplicar la Regla de Barrow: G_t = G(x₁) - G(x₂).

7. Recta Tangente y Normal

1. Identificar la ecuación de la función.
2. Obtener el punto de abscisa x₀.
3. Sustituir x₀ en la función original para obtener y₀.
4. Calcular la pendiente mediante la derivada: m = f'(x₀).
5. Sustituir los valores en la ecuación punto-pendiente: y = y₀ + m(x - x₀).

Nota: En la recta perpendicular (normal), la pendiente es m = -1 / f'(x₀).