Formulario Esencial de Trigonometría, Combinatoria y Lógica Matemática

Trigonometría

Identidades fundamentales:

• sen(2x) = 2 sen(x) · cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
• 1 = cos²(x) + sen²(x)
• cos(2x) = 2 cos²(x) - 1
• cos(2x) = 1 - 2 sen²(x)

Teoremas trigonométricos

Teorema del seno: sen(a)/A = sen(b)/B = sen(c)/C

Teorema del coseno:

• B² = A² + C² - 2AC · cos(b)
• A² = B² + C² - 2BC · cos(a)
• C² = A² + B² - 2AB · cos(c)

Teorema de adición: cos(b-a) = cos(b) · cos(a) + sen(b) · sen(a)

Teorema del binomio y complejos

Teorema del binomio:

• (a+b)ⁿ = Σ (n sobre k) aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
• (a-b)ⁿ = Σ (n sobre k) aⁿ⁻ᵏ · (-b)ᵏ

Forma polar de complejos: Zₖ = ||w|| · cis(α/n + 2kπ/n)

• n = número de raíces
• k = (n-1)

Combinatoria

• Variación (orden, sin repetición): V = m! / (m-n)!
• Variación (orden y repetición): VR = mⁿ
• Permutación (orden, sin repetición): V = m!
• Permutación con repetición: P = n! / (a! · b! · c!)
• Combinación (sin orden): C = (m sobre n) = m! / (n! · (m-n)!)

Vectores

Ecuación vectorial: (x, y, z) = A + t(AB), donde t ∈ ℝ

Ecuación paramétrica:

• x = xA + t · xAB ⇒ (x - xA) / xAB = t
• y = yA + t · yAB ⇒ (y - yA) / yAB = t
• z = zA + t · zAB ⇒ (z - zA) / zAB = t

Ecuación cartesiana: (x - xA) / xAB = (y - yA) / yAB = (z - zA) / zAB

Módulo: ||v|| = (a² + b² + c²)¹/²

Lógica Matemática

Conceptos básicos:

• Si la negación es verdadera, la proposición es falsa.
• Si la negación es falsa, la proposición es verdadera.
• "Y" (conjunción): verdadera solo si ambas son verdaderas.
• "O" (disyunción): falsa solo cuando ambas son falsas.
• "Entonces" (condicional): falso cuando de una verdad se llega a una falsedad.
• "Si y solo si" (bicondicional): verdadero cuando ambos son falsos o ambos verdaderos.

Clasificación:

• Tautología: todas verdaderas.
• Contradicción: todas falsas.
• Contingencia: puede ser verdadera o falsa.

Leyes de Morgan y equivalencias:

• ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
• p ∧ (p ∨ q) = p
• p ∨ (p ∧ q) = p
• ¬p ⇒ q = p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
• p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)