Formulario de Distribuciones de Probabilidad y Estadística: Fórmulas y Conceptos Clave

Distribuciones de Probabilidad Discretas

Distribución de Bernoulli

Definición: X representa el número de éxitos en un solo ensayo (1 ensayo).

Notación: X ~ Ber(1, p)

Distribución Binomial

Definición: X es el número de éxitos en n ensayos independientes.

Notación: X ~ B(n, p)

• n: Número de pruebas o ensayos.
• p: Probabilidad o porcentaje de éxito.

Distribución Geométrica

Definición: X es el número de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito.

Notación: X ~ Geom(p)

Distribución de Pascal (Binomial Negativa)

Definición: X es el número de ensayos necesarios hasta incluir el r-ésimo éxito.

Notación: X ~ Pas(r, p)

Distribución de Poisson

Definición: X es el número de ocurrencias de un determinado evento en un intervalo continuo de tiempo o espacio.

Notación: X ~ Poisson(λ)

Nota de uso: También se puede utilizar como una aproximación de la distribución Binomial si n es grande.

Distribución Hipergeométrica

Definición: Se aplica a muestras que contienen n observaciones extraídas sin reemplazo de una población finita.

Notación: X ~ H(N, R, n)

• N: Tamaño de la población.
• R: Éxitos en la población.
• n: Tamaño de la muestra.

Distribuciones de Probabilidad Continuas

Nota importante sobre distribuciones continuas: A diferencia de las discretas, en las distribuciones continuas los puntos individuales tienen probabilidad cero. Por lo tanto, para cualquier intervalo entre a y b, la inclusión de los extremos da igual: P(X ≤ a) = P(X ≥ a) da igual. En cambio, en las distribuciones discretas el signo de desigualdad es crítico:

• P(X ≥ a) = 1 - P(X ≤ a - 1)
• P(X > n) = 1 - P(X ≥ n)

Distribución Uniforme

Notación: X ~ U[a, b]

Propiedad: Todos los valores dentro del intervalo [a, b] tienen la misma probabilidad (densidad uniforme).

Distribución Exponencial

Definición: X mide el paso del tiempo o la distancia entre las ocurrencias de eventos.

Notación: X ~ Exp[β]

Propiedad de falta de memoria: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Distribución Normal

Notación: X ~ N(μ, σ^2)

• Si estandarizamos, usamos la tabla de la distribución normal estándar Z.
• Si no tenemos la media poblacional μ, podemos usar la aproximación con la media muestral: z = (xi - x̄) / s.
• Caso inverso: Si conocemos la probabilidad P(Z ≤ C) = % (valor dado), buscamos este porcentaje dentro de la tabla para igualar: (C - μ) / σ = número de la tabla y luego despejamos C.
• Cálculo de percentiles (Pn): Si pide el percentil n, planteamos P(X ≤ Pn) = n. Si el valor exacto no está en la tabla, se debe interpolar entre los dos valores más cercanos usando la fórmula:
  x = x1 + ((y - y1) / (y2 - y1)) * (x2 - x1)

Probabilidad Condicional

Fórmula general: P(A | B)

Regla práctica: Si el valor o evento A está completamente dentro del rango de B, solo dividimos la probabilidad de A entre la de B.

Teoremas y Distribuciones Muestrales

Teorema del Límite Central (TLC)

Definición: Sn = X1, X2... representa la suma de las observaciones de una muestra aleatoria.

Distribución Muestral de la Media

Factor de Corrección por Población Finita (F.C.P.): Si el tamaño de la muestra n es mayor al 5% del tamaño de la población N (es decir, n > 0.05N), se debe utilizar el F.C.P.

Interpretación de Estadísticos

Nota: Es fundamental usar las unidades correspondientes según la desviación y la variable analizada.

• Media: “En promedio, [variable] es de [valor + unidad]”.
• Desviación estándar: “El [variable] se aleja típicamente [valor + unidad] por encima o por debajo del promedio”.
• Varianza: “La varianza del [variable] es [valor] [unidad²], lo que indica una dispersión [alta/moderada/baja] respecto a la media”.