Exercicis de Matemàtiques: Fraccions, Geometria i Àlgebra

Operacions amb fraccions i decimals

Càlcul de fraccions

• 1/5 + 2/3 + 3/4 = 12/60 + 40/60 + 45/60 = 97/60 = 1 37/60
• 5 - 2/3 = 15/3 - 2/3 = 13/3
• 1/2 + 2/5 - 4/3 = (15 + 12 - 40) / 30 = -13/30
• 1/4 : 3/2 = 2/12 = 1/6

Conversió de decimals a fraccions

• 1,5 = 15/10 = 3/2 (4t)
• 4,25 = 425/100 = 85/20 = 17/4 = 1 1/4 (1r)
• 2,3 = 23/10 (2n)
• 0,52 = 52/100 = 26/50 = 13/25 (6è)
• 2,154 = 2154/1000 = 1077/500 = 20 7/50 (3r)
• 0,64 = 64/100 = 1 36/100 = 1 9/25 (5è)

Equacions i problemes de percentatges

Resolució d'equacions:

• 1/3x + 1/5x + 24 = x
• 45x / 100 = 6,75 → 45x / 100 = 675 / 100

x = total d'assistents

• 5x + 3x + 420 = 15x
• 30 · 15 / 100 = 450 / 100 = 4,5 de descompte
• 5x + 3x - 15x = -420
• 30 euros - 4,5 = 25,5
• 7x = 420 → 420 / 7 = 60
• x = 25,5
• x = 675 / 45 = 15% = x

Proporcionalitat i regla de tres

Consum de combustible

x = 10,5 L · 450 km / 150 km = 31,5 L

Relació: 10,5 L → 150 km | x → 450 km

Regla de tres inversa (Operaris)

4 operaris → x hores

3 operaris → 8 hores → (8 · 3) / 4 = 6 hores

Geometria: Teorema de Pitàgores i Àrees

Càlcul de la hipotenusa i catets

• 5 m = 500 cm (h)
• c = 400 cm
• c = x
• 400² + x² = 500²
• 160.000 + x² = 250.000
• x² = 250.000 - 160.000
• x² = 90.000 → x = 300 cm (Nota: el text original indicava 248.400 i 498 cm, es manté el contingut corregit gramaticalment: x = 498 cm ≈ 5 m)

Càlcul d'àrees totals

• Triangle = (2 · 8) / 2 = 8 m²
• Rectangle 1 = 8 · 4 = 32 m²
• Rectangle 2 = 8 · 4 = 32 m²
• 2 Triangles = 4 · (10 - 8) = 4 · 2 = 8 m²
• Àrea Total: 8 m² + 32 m² + 32 m² + 8 m² = 80 m²

Càlcul de volums: Cilindre i Esfera

Cilindre

• Àrea base = π · r² = 4π
• Àrea altura = 2π · r · h = 2π · 2 · 6 = 24π
• Àrea total = 2(4π) + 24π = 32π cm
• Volum = B · h = 4π · 24π = 96π² cm³ ≈ 947,5 cm³

Esfera

• Circumferència = 2π · r | Àrea cercle = π · r²
• Àrea esfera = 4π · r² = 4π · (2300 / 2)²
• Àrea = 5.290.000π km ≈ 16.610.600 km²
• Volum esfera = 4/3 · π · r³ = 4/3 · π · (2300 / 2)³
• Volum esfera = 5.290.000π / 3 = 1.763.333,3 km
• V = 5.536.866,66 km³

Funcions i anàlisi de dades

Numèrica irregular, contínua. Temps: 1 h. Surt a les 9:00 i torna a les 9:35.

Problema de tarifes (Internet)

a) 1,20 + 1,90

b) 1,20 + 1,90(2) = 5 Euros

Si ha estat connectat i el preu final és 8,80 €:

• Fórmula: y = 1,20 + 1,90x (on y = preu, x = hores)
• 1,20 + 1,90x = 8,80
• 1,90x = 8,80 - 1,20 = 7,60
• x = 7,60 / 1,90 = 4 hores