Estudio Completo de Distribuciones de Probabilidad: Hipergeométrica, Binomial, Normal y t de Student
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Introducción a las Distribuciones de Probabilidad
En estadística, las distribuciones de probabilidad son fundamentales para comprender el comportamiento de los datos y las variables aleatorias. A continuación, se examinan los modelos más importantes tanto discretos como continuos.
Distribución Hipergeométrica
La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con 3 parámetros discretos: N, d y n, cuya función de probabilidad es:
Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total A. Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles.
Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.
El valor esperado de la variable aleatoria x de distribución hipergeométrica y su varianza se definen mediante las fórmulas matemáticas correspondientes del modelo.
Distribución Binomial
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes, cada uno de los cuales tiene probabilidad p de ocurrir. (La distribución de Bernoulli es una distribución binomial con n = 1).
Su distribución de probabilidad está dada por las combinaciones de n en x.
Ejemplo práctico: La distribución binomial se usa para encontrar la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En este caso se tiene k y resulta en una sumatoria específica y su varianza.
Experimento Binomial
La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:
- El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija antes del experimento.
- Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en 2 posibles resultados, que se denotan por éxito (s) o fracaso (f) donde p(s) + p(f) = 1.
- Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
- La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro.
Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial x está definida como el número de éxitos entre los n intentos.
Distribución Normal o Gaussiana
La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a 2 razones fundamentalmente:
- Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a un gran número de variables estadísticas.
- Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.
La función de densidad está dada por los parámetros donde μ es la media y σ es la desviación estándar (siendo σ² la varianza).
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
Importancia y Aplicaciones de la Distribución Normal
La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:
- Caracteres morfológicos de individuos.
- Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco.
- Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos.
- Caracteres psicológicos como el coeficiente intelectual.
- Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
- Valores estadísticos muestrales como la media.
Distribución t de Student
La distribución t de Student tiene su propia función de densidad, donde el parámetro n o grados de libertad se denomina así dentro de la distribución.
La distribución t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simétrica respecto al eje y. La distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado se representa adecuadamente mediante integrales de su función de densidad.