Cómo estudiar funciones: Monotonía, curvatura y optimización

Cómo determinar si una función es creciente o decreciente

1. Estudio de discontinuidades: Identificamos los puntos donde la función no es continua.
2. Primera derivada: Calculamos la primera derivada de la función.
3. Ceros de la derivada: Hallamos los puntos donde la primera derivada es igual a cero.
4. Intervalos: Formamos intervalos utilizando los puntos de discontinuidad y los ceros de la derivada.
5. Signo de la derivada: Elegimos un punto de cada intervalo y evaluamos la primera derivada; si es positiva, la función es creciente, y si es negativa, es decreciente.

Cálculo de máximos y mínimos

1. Primera derivada: Hallamos la primera derivada.
2. Puntos críticos: Igualamos la primera derivada a 0 para obtener los candidatos a máximos o mínimos.
3. Segunda derivada: Calculamos la segunda derivada.
4. Criterio de la segunda derivada: Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada; si el resultado es mayor que cero, es un mínimo, y si es menor que cero, es un máximo.

Cómo determinar si una función es cóncava o convexa

1. Estudio de discontinuidades: Identificamos los puntos donde la función es discontinua.
2. Segunda derivada: Hallamos la segunda derivada.
3. Ceros de la segunda derivada: Hallamos los puntos que anulan la segunda derivada.
4. Intervalos: Formamos intervalos con los puntos de discontinuidad y los ceros de la segunda derivada.
5. Signo de la segunda derivada: Evaluamos un punto de cada intervalo; el signo resultante nos indica si la función es cóncava o convexa.

Cálculo de puntos de inflexión

1. Segunda derivada: Hallamos la segunda derivada.
2. Puntos críticos: Igualamos la segunda derivada a 0 para obtener los candidatos a puntos de inflexión.
3. Tercera derivada: Calculamos la tercera derivada.
4. Verificación: Sustituimos los puntos críticos en la tercera derivada; si el valor es distinto de cero, confirmamos que es un punto de inflexión.

Optimización de funciones

1. Planteamiento: Definimos la función que se desea maximizar o minimizar.
2. Relación de variables: Establecemos una ecuación que relacione las variables del problema si hay más de una.
3. Reducción de variables: Despejamos una variable de la ecuación y la sustituimos en la función principal para trabajar con una sola variable.
4. Extremos locales: Derivamos la función e igualamos a cero.
5. Comprobación: Realizamos la segunda derivada para verificar el resultado obtenido.

Ecuaciones de la recta

Ecuación de la recta normal

Ecuación de la recta tangente