Estimadores de Parámetros y Contraste de Hipótesis Paramétricas: Guía de Estadística

Obtención de Estimadores

Método de los momentos

Consiste en igualar los K primeros momentos poblacionales de la variable aleatoria X a los K primeros momentos muestrales respecto al origen, siendo K el número de parámetros desconocidos. Así tenemos un sistema de K ecuaciones para obtener estimadores.

Método de la máxima verosimilitud

Se basa en que lo que habitualmente sucede es lo más probable. Antes se define la función de verosimilitud L, que se entiende como la función de probabilidad o función de densidad de la muestra genérica. Esto permite obtener estimadores de los parámetros, maximizando la función de verosimilitud L o una función soporte.

Ventajas e inconvenientes de los estimadores puntuales y por intervalo

La estimación puntual permite obtener un valor numérico que hace el papel de parámetro desconocido, pero dicha estimación depende de la muestra específica seleccionada, por lo que su fiabilidad es desconocida.

La estimación puntual tiene la ventaja de permitir obtener una estimación única del parámetro, pero el inconveniente es que depende de la muestra; por ello, la fiabilidad de esta es desconocida.

Es mejor realizar la estimación por intervalos de confianza, porque permite dar una idea sobre el valor real del parámetro y establecer el grado de fiabilidad o nivel de confianza que se puede tener de que el verdadero valor del mismo esté dentro del intervalo considerado. La estimación por intervalos tiene como objetivo estimar un parámetro a través de un intervalo de la recta real para el cual exista una alta y conocida probabilidad de que el valor del mismo esté entre sus límites; cualquier valor del intervalo puede ser una estimación del parámetro.

Obtención de intervalos de confianza

Se trata de encontrar una variable aleatoria basada en un estimador puntual (símbolo) cuya distribución de probabilidad sea conocida, de forma que, mediante una transformación de ella, se llegue a una doble desigualdad que contenga el parámetro desconocido (símbolo). Si se aumenta el nivel de confianza 1-α, el valor de z(α/2) se desplaza a la derecha y, por tanto, aumenta la amplitud A. Si aumenta el tamaño de muestra n, disminuye la amplitud del intervalo A (cae teóricamente).

Error de estimación

Es la diferencia existente entre la estimación y el valor del parámetro. A menor error de estimación, mayor precisión y fiabilidad en la estimación por intervalos. En la práctica, con un nivel de confianza 1-α = 100%, y fijado un valor máximo del error, se puede obtener el tamaño muestral necesario n para que el error no supere ese valor.

El error de estimación depende de:

• La dispersión o varianza poblacional (σ² al cuadrado): este valor viene ya fijado y no puede variar.
• El nivel de confianza 1-α: si disminuimos el nivel de confianza, se reduce el valor de z(α/2), por lo que el error disminuye; sin embargo, hacerlo no es lógico, porque interesa un valor grande de 1-α.
• El tamaño muestral n: si aumenta n, se reduce el error de estimación; la mejor manera es aumentar n, con lo que disminuye E. Para ello se despeja el tamaño muestral n de la expresión de E.

Contrastes de hipótesis

Los contrastes de hipótesis permitirán confirmar la veracidad o falsedad de cualquier afirmación realizada sobre alguna característica desconocida de la población, en base a la información obtenida a partir de la muestra aleatoria.

Una hipótesis estadística es cualquier afirmación, verdadera o falsa, sobre alguna característica desconocida de una población. Si la hipótesis se refiere al valor de un parámetro desconocido de la población (cuya distribución se supone conocida), se dice que es un contraste paramétrico; pero si la hipótesis se refiere a la forma de la distribución poblacional, es un contraste no paramétrico.

Contraste de hipótesis paramétricas

Extrae una muestra aleatoria de una población. La información obtenida puede estimar los parámetros desconocidos mediante estimadores puntuales o intervalos de confianza, y también verificar la validez de una conjetura o hipótesis que el investigador realiza sobre alguna característica desconocida de la población.

• Paramétricos: requieren que las variables se midan con la escala intervalar o de razón, y estudian parámetros de la población (media, varianza, etc.).
• No paramétricos: no estudian un parámetro de la población, y tienen poder para rechazar la hipótesis nula.

Espacio paramétrico

Es el conjunto de valores que puede tomar el parámetro.

Tipos de hipótesis

Existen 2 tipos:

• Simples: si la hipótesis se refiere a un único valor del parámetro (eje μ = μ0). En este caso, quedaría totalmente especificada la distribución poblacional F(x;θ).
• Compuestas: si la hipótesis se refiere a un rango de valores que constituyen una región del espacio paramétrico (eje: μ > μ0; a < μ < b).