Estadística Unidimensional: Medidas de Tendencia Central, Dispersión y Fórmulas Clave

Estadística unidimensional y fórmulas

Media aritmética

Media aritmética: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}\)

Propiedades:

1. La suma de las desviaciones de los valores observados respecto a la media es 0.
2. Si a todos los valores de la variable \(x\) se les suma una constante \(a\), se obtiene una nueva variable cuya media es la misma más dicha constante.
3. Si todos los valores de la variable \(x\) se multiplican por una constante \(b\), se obtiene una nueva variable cuya media es la media original multiplicada por \(b\).
4. La media de todas las observaciones es la media de las medias.

Mediana

Mediana: Es el valor de la variable \(x_i\) en el cual su volumen acumulado es la mitad del volumen total. Para su cálculo se procede de forma análoga a como se hizo para calcular la mediana: se considera \(n/2\), teniendo que encontrar \(N/2\) en variables agrupadas.

Mediana: Es el valor central en el sentido de que, una vez ordenados los datos, el número de observaciones a su izquierda es igual al número de observaciones a su derecha.

Cuantiles

Cuantiles: Son medidas de posición no centrales, en el sentido de que son valores tales que, por debajo de ellos, hay una cantidad determinada de observaciones.

Varianza

Varianza: \(\text{Var}, s^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{\sum f_i} - \bar{x}^2\)

La distribución de valores se construye en torno a la media y, por tanto, cuantifica su representatividad como promedio: es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada observación respecto a la media aritmética.

Propiedades:

1. Es la diferencia entre la media aritmética calculada para los cuadrados de las observaciones y el cuadrado de la media aritmética original.
2. La varianza y la desviación típica siempre son positivas y solo son nulas cuando los valores de la distribución son todos iguales.
3. Si a todos los valores se les suma una constante, la varianza no se modifica.
4. Si se multiplica la variable por \(b\), la varianza queda multiplicada por \(b^2\) y la desviación típica por \(b\). Por tanto, ambas son sensibles a cambios de escala e insensibles a cambios de origen.

Desviación típica

\(s = \sqrt{\text{Var}}\)

Coeficiente de variación

\(C.V. = \frac{\text{Desviación típica}}{\text{Media aritmética}}\)

Es la medida de dispersión relativa más empleada, adimensional. Suele expresarse multiplicada por 100 (en porcentaje).

Propiedades:

1. Es invariante frente a cambios de escala.
2. No es invariante frente a cambios de origen, por lo que \(CV_y \neq CV_x\).
3. El C.V. se utiliza para evaluar la representatividad de las medias.

Moda

Moda: Es el valor que más se repite, con mayor densidad; en un intervalo, es el valor que se presenta en más ocasiones, es decir, el de mayor frecuencia.

Rango

Rango: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores observados.

Covarianza

Covarianza: \(s_{xy} = \frac{\sum x_i y_j n_{ij}}{n} - \bar{x}\bar{y}\)

Dada una variable bidimensional, el concepto de correlación lineal está ligado a la cuestión de qué suele suceder con una de las variables cuando la otra aumenta o disminuye en su valor.

Coeficiente de correlación

\(r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}\)

Propiedades:

1. El coeficiente de correlación lineal entre \(x\) e \(y\) coincide con el valor de la covarianza entre sus respectivas tipificaciones.
2. \(r\) tiene el mismo signo que la covarianza, es adimensional y solo puede tomar valores entre \(-1\) y \(1\).
3. \(r\) mide la intensidad de la correlación lineal que existe entre dos variables, de \(-1\) a \(1\).
4. \(r\) no se ve afectado por cambios de origen y cambia de signo si se cambia la orientación de las variables.

Concentración de Gini

La curva de Lorenz proporciona una imagen gráfica de la concentración; sin embargo, no siempre permite comparar poblaciones distintas. Para ello sería conveniente disponer de una medida que cuantifique numéricamente el grado de concentración y permita establecer comparaciones. El índice de Gini cuantifica la concentración a partir de la curva de Lorenz. Se define como el resultado de dividir el área encerrada entre la curva de Lorenz y la diagonal de la equidistribución entre el área del triángulo inferior, que es la mitad del área del cuadrado.

Propiedades:

1. El índice de Gini carece de dimensiones; es invariante frente a cambios de escala, pero no frente a cambios de origen.
2. \(IG\) toma el valor \(0\) en el caso de equidistribución y el valor \((n-1)/n\) en el caso de máxima concentración.
3. \(IG\) puede considerarse también como una medida de dispersión relativa.

Recta de regresión

Es la posible relación que pueda existir entre \(x\) e \(y\):

1. Independencia.
2. Dependencia funcional: cuando, conocido el valor que toma una variable, se puede determinar con exactitud el valor que toma la otra.
3. Dependencia estadística: cuando existe cierta relación que, sin embargo, no es posible expresarla matemáticamente de forma precisa; puede ser fuerte o débil.

La regresión trata el problema de encontrar la fórmula o modelo que sea adecuado para expresar una variable en función de la otra.

Coeficiente de determinación

\(r^2\) es la proporción de varianza explicada en la regresión correspondiente, mientras que \(1 - r^2\) es la proporción de varianza no explicada.

Números índice

Son una cantidad que muestra, mediante sus variaciones, los cambios en el tiempo o en el espacio de una magnitud que no es susceptible de medida directa en sí misma.

Números índice simples: se denomina número índice de \(x\) en el periodo actual \(t\) con respecto al periodo base \(0\) a \(I_{t/0} = \frac{x_t}{x_0}\).

Propiedades:

1. Propiedad de identidad: \(I_{0/0} = 1\) e \(I_{1/1} = 1\).
2. Propiedad de inversión: \(I_{t/0} = \frac{1}{I_{0/t}}\).
3. Propiedad circular.
4. Propiedad de homogeneidad: el número índice es invariable ante cambios de escala.

Números índice agregados: se dan cuando la magnitud no tiene una definición precisa de modo directo, sino que viene a ser la magnitud que se representa por un conjunto numeroso de variables.

• Laspeyres: \(P_t = \frac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0}\)
• Paasche: \(P_t = \frac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_t}\)

Probabilidad

La probabilidad \(P\) definida sobre un espacio probabilizable \((\Omega, \mathcal{A})\) es cualquier aplicación que a cada suceso \(A\) le asigna un número real \(P(A)\) que cumple las siguientes propiedades de coherencia:

1. \(P(A) \geq 0\).
2. \(P(\Omega) = 1\).
3. Aditividad numerable: la probabilidad de la unión disjunta de sucesos debe ser la suma de las probabilidades de cada suceso.