Estadística: Parámetros, Intervalos de Confianza y Contrastes de Hipótesis

Parámetro: proporción de éxitos en una muestra concreta de una población B

Supongamos que aplicamos un experimento de Bernoulli en una muestra de n individuos de una población. Se denomina proporción de éxitos en la muestra, y se escribe \(\hat{p}\), al siguiente cociente:

\(\hat{p}=\dfrac{\text{nº de éxitos}}{n}\)

La variable media de una muestra genérica

Se denota por \(\bar{X}\) y se diferencia de \(\bar{x}\) en lo siguiente: el valor de \(\bar{X}\) no es fijo, depende de cuál sea la muestra elegida, mientras que el valor de \(\bar{x}\) es una cantidad fija (pues es la media de los datos de una muestra que conocemos).

La variable \(\hat{p}\)

Indica la proporción de éxitos en una muestra genérica de una población B. Se diferencia del parámetro \(\hat{p}\) en que este indica la proporción de éxitos en una muestra concreta de una población B.

Distribución de la variable \(\hat{p}\)

Supongamos que estamos trabajando en una población B(p). Entonces, la variable \(\hat{p}\) = proporción de éxitos en una muestra genérica de tamaño n tiene una distribución \(N\left(p,\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right)\).

Intervalo de confianza para la media \(\mu\) de una población normal con \(\sigma\) conocida

Sea X una variable aleatoria normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica \(\sigma\) conocida. Supongamos que conocemos los valores que toma X en una muestra aleatoria de n individuos. Entonces:

...

Error máximo cometido en la estimación de la media \(\mu\) de una población normal con \(\sigma\) conocida

Cuando estimamos la media \(\mu\) de una población normal con \(\sigma\) conocida a partir de la media de una muestra, podemos afirmar que, con un nivel de confianza \(1-\alpha\), el error máximo cometido en la estimación viene dado por:

\(E_{\max}=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Contraste de hipótesis

Un contraste de hipótesis sobre el parámetro poblacional \(\theta\) es un dilema entre dos hipótesis:

• Por una banda, una hipótesis H₀, llamada hipótesis nula, en la que se contempla que \(\theta\) tome un cierto valor.
• Por otra banda, una hipótesis H₁, llamada hipótesis alternativa, en la que se contempla que \(\theta\) pueda tomar ciertos valores.

Test de resolución de contrastes

Es el criterio que se utiliza para resolver un contraste, es decir, el criterio que se va a utilizar para decidir si se acepta H₀ o si se rechaza H₀. Los tests que se utilizan para resolver contrastes tienen siempre el siguiente formato:

Rechazar H₀ si los datos de una muestra aleatoria verifican una cierta condición.