Estacionariedad y Cointegración en Series Temporales

Tipos de Estacionariedad en Procesos Estocásticos

Estacionariedad Fuerte: Todas las variables aleatorias que componen el proceso estocástico tienen la misma función de densidad, lo que implica la misma media y varianza.

Estacionariedad Débil de Primer Orden: Todas las variables aleatorias que componen el proceso estocástico tienen la misma media.

Estacionariedad Débil de Segundo Orden (Estacionariedad en Covarianza): Todas las variables aleatorias que componen el proceso estocástico tienen la misma media y varianza, y las covarianzas no dependen del tiempo. Si una de estas condiciones no se cumple, es necesario transformar la serie.

Estacionariedad Estricta: Se refiere a que las observaciones provengan de la misma función de distribución.

Ruido Blanco: Se trata de un proceso impredecible, estacionario en covarianza (con media igual a cero), en el que además sus observaciones no muestran dependencia lineal. Es un caso particular de un proceso.

Procedimiento para Determinar el Orden de Integración

Primer paso

Se evalúa la hipótesis nula H0: I(1) + constante frente a la alternativa H1: I(0) + constante + tendencia determinística. Se debe usar una regresión con constante y tendencia determinística sobre la serie en niveles. Si se rechaza H0, la serie es I(0) con constante y tendencia determinística; en caso contrario, se procede al segundo paso.

Segundo paso

Se evalúa la hipótesis nula H0: I(2) frente a la alternativa H1: I(1) + constante. Se utiliza una regresión con constante sobre las primeras diferencias. Si no se rechaza H0, la serie es I(2); si se rechaza, la serie es I(1).

Cointegración y Relaciones de Largo Plazo

La cointegración ocurre cuando dos variables son I(1) y existe una combinación lineal entre ellas que resulta en una serie I(0) (estacionaria). Esto implica que existe una relación a largo plazo en la que ambas convergen.

Si las series están cointegradas, la ecuación de largo plazo que caracteriza la relación es:

yt = bxt + c + εt (fórmula general)

Donde c es el intercept/estimate y b es el primer valor que aparece debajo del intercept en la fila de estimate.

Test de Engle-Granger

El procedimiento de Engle-Granger testea la definición de cointegración mediante un proceso en dos etapas:

• a. Regresión en niveles de las variables: Yt = α + βXt + wt
• b. Test ADF sobre residuos: Se aplica el test de Dickey-Fuller Aumentado usando el caso que corresponda según la observación de los residuos.
• c. Conclusión del test: Se evalúa la presencia de raíces unitarias en los residuos comparando el estadístico t del coeficiente de interés con el valor crítico obtenido mediante una tabla modificada (no la estándar de Dickey-Fuller).
• d. Hipótesis: La hipótesis nula (H0) indica que no hay cointegración (presencia de raíces unitarias en los residuos), mientras que la hipótesis alternativa (H1) indica que existe una relación de cointegración (los residuos son estacionarios o no tienen raíz unitaria).