Energía del Campo Electromagnético y el Vector de Poynting: Conservación y Flujo

Energía del Campo Electromagnético: El Vector de Poynting

La primera consecuencia general importante que se sigue del sistema de ecuaciones de Maxwell es que el campo electromagnético ($\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$) posee energía. La presente sección la dedicaremos a estudiar este concepto junto con la ley de conservación que lleva asociada.

Trabajo y Potencia en un Volumen Finito

Consideremos un sistema cerrado formado por los campos electromagnéticos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ y partículas cargadas. Supondremos que las partículas se hallan distribuidas de modo continuo en el espacio. Vamos a determinar el trabajo total por unidad de tiempo que efectúan los campos sobre las partículas cargadas encerradas en un volumen finito ($\tau$). Supondremos que $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ no se ven afectados por el movimiento de las partículas, es decir, los campos que generan las partículas son despreciables frente a $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$.

Fuerza y Trabajo Elemental

La fuerza ejercida por unidad de volumen por los campos sobre las cargas ($\rho$) vendrá dada por la fuerza de Lorentz volumétrica:

$$\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$

El trabajo elemental sobre el volumen $\mathrm{d}\tau$ será:

$$\mathrm{d} W = (\rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} t$$

Y la potencia disipada (trabajo por unidad de tiempo) en el volumen $\mathrm{d}\tau$ es:

$$\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d}\tau} = (\rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v}$$

Esta potencia representa la conversión de energía electromagnética en energía mecánica o térmica. Por la ecuación (34) [asumiendo que la expresión anterior es la (34)], vemos que el trabajo de la fuerza magnética es cero puesto que la fuerza es perpendicular a la velocidad de la partícula ($\mathbf{v}$), por tanto:

$$\mathbf{J} \times \mathbf{B} \cdot \mathbf{v} = 0$$

Derivación del Teorema de Poynting

Para ver explícitamente la disminución de energía del campo en el interior de $\tau$, utilizamos las ecuaciones de Maxwell. La ley de Ampère-Maxwell nos da:

$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

Simetricemos esta expresión usando la ley de Faraday ($\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$):

Multiplicamos la primera ecuación por $\mathbf{E}$ y la segunda por $\mathbf{H}$, y restamos:

$$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

Aunque no hemos dicho nada acerca del medio, suponemos que es el vacío, de modo que $\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}$ y $\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$. En esta situación, si recordamos las expresiones para la densidad de energía para los campos eléctrico y magnético estáticos:

Densidades de Energía Estáticas

• Densidad de energía eléctrica: $u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$
• Densidad de energía magnética: $u_m = \frac{1}{2 \mu_0} B^2$

Y formulamos la hipótesis de que $u_e + u_m$ representa la densidad de energía electromagnética total $u_{em}$, incluso para campos que varíen con el tiempo, tendremos:

$$\frac{\partial u_{em}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \right)$$

Utilizando la identidad vectorial $\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})$, y reordenando la ecuación obtenida de Maxwell, se llega a:

$$\frac{\partial u_{em}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$$

donde $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ es el vector de Poynting. Como el recinto elegido, $\tau$, es arbitrario, se verifica idénticamente:

Teorema de Poynting

El Teorema de Poynting (1884) nos da la ecuación diferencial de continuidad o ley de conservación de la energía:

$$\frac{\partial u_{em}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$$

El vector $\mathbf{S}$ representa el flujo de energía, y se llama vector de Poynting:

$$\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \quad \left( \frac{\text{J}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}} \right)$$

Significado Físico

El significado del teorema de Poynting es el siguiente:

"En la unidad de tiempo, la variación de la energía electromagnética contenida en un cierto volumen ($\tau$), más el flujo energético saliente a través de la superficie límite ($\partial \tau$), es igual al trabajo total cambiado de signo realizado por los campos sobre las fuentes interiores a dicho volumen".

Integrando sobre el volumen $\tau$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{\tau} u_{em} \mathrm{d}\tau + \oint_{\partial \tau} \mathbf{S} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = -\int_{\tau} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \mathrm{d}\tau$$

Dado que hemos tomado un punto de vista microscópico para los campos ($\mathbf{E}, \mathbf{B}$), podemos interpretar el teorema de Poynting como un teorema de conservación de la energía de un sistema combinado de partículas y campos. Si denominamos a la energía total de las partículas dentro del volumen $\tau$ como $E_{mec}$ y suponemos que el número de partículas en el volumen $\tau$ es estacionario (o consideramos la variación de la energía mecánica $\mathrm{d} E_{mec} / \mathrm{d} t$):

La energía transferida por los campos se invierte en aumentar la energía mecánica de las partículas (trabajo realizado sobre ellas). Teniendo en cuenta esta relación, y la expresión de la potencia disipada ($\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$ es la potencia entregada a las partículas), el teorema de Poynting que expresa la conservación de la energía del sistema combinado adopta la siguiente forma:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( E_{mec} + \int_{\tau} u_{em} \mathrm{d}\tau \right) + \oint_{\partial \tau} \mathbf{S} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0$$

La formulación anterior hace hincapié en considerar el campo como un ente cuyo grado de realidad es comparable, al menos formalmente, al de las propias partículas.