Ejercicios Resueltos de Probabilidad Binomial y Poisson

Distribución Binomial

Durante los últimos años, se ha logrado establecer que el 30% de los alumnos que ingresan por primera vez a cierta universidad reprueban todas sus asignaturas del primer semestre. Si en el segundo semestre se elige al azar a 15 alumnos que ingresaron el semestre anterior a la universidad:

• X: El número de estudiantes que reprueba todas sus asignaturas el primer semestre.
• P: Probabilidad de éxito.
• n: Muestra.
• X ~ Bin(n=15, p=0.3)

Ejercicio A

¿Cuál es la probabilidad de que solo cinco de ellos hayan reprobado todas las asignaturas del primer semestre?

Respuesta:

P(X = 5) = [15! / ((15 - 5)! * 5!)] * (0.3)⁵ * (0.7)^15-5

P(X = 5) = 0.20613

Caso de Transporte Masivo

Solo el 30% de la población de una gran ciudad piensa que el sistema de transporte masivo es adecuado.

a. Probabilidad de opinión favorable

Si 20 personas se seleccionan aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que cinco o menos piensen que el sistema es adecuado.

Respuesta:

• X: El número de personas que piensan que el transporte masivo es adecuado.
• p = 0.3
• n = 20
• X ~ Bin(n=20, p=0.3)

P(X ≤ 5) = F_x(5) = 0.4164

Parámetros adicionales:

• Esperanza (E): n * p
• Varianza (V): n * p * (1 - p)

b. Probabilidad exacta

Encuentre la probabilidad de que exactamente seis personas piensen que el sistema es adecuado.

Distribución de Poisson

El número de clientes que llega a un banco entre las 10:00 y las 11:00 A.M. de un día laboral tiene una tasa media de 120 personas por periodo. Se supone que la distribución de Poisson modela apropiadamente el número de llegadas por día de estos clientes y que la tasa de arribo es constante durante todo el período considerado.

Ejercicio A

¿Qué distribución modela la llegada de clientes en un minuto de la hora mencionada?

• X: Número de clientes que llega a un banco entre las 10:00 y las 11:00 A.M.
• λ: 120 personas/hora (para el periodo completo).

Se define otra variable Y: "Número de clientes que llegan en 1 minuto dentro de las 10:00 y 11:00 A.M."

• λ_y: 2 personas/minuto.
• Por lo tanto: Y ~ P(λ=2/min)

Ejercicio B

¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto, entre las 10:00 y las 11:00 A.M., lleguen al menos 3 clientes?

Respuesta:

P(Y ≥ 3) = 1 – P(Y < 3)

P(Y ≥ 3) = 1 – F_y(2) (aplicando el complemento)

P(Y ≥ 3) = 1 – 0.6767

P(Y ≥ 3) = 0.3233