Ejercicios Resueltos de Matemáticas Financieras: Interés Compuesto, Tasas e Inflación

Ejercicios de Interés Compuesto con Tasas Variables

Caso 1: Inversión con tres cambios de tasa en 6 años

Se invierten 7.500 en un banco por un periodo de 6 años. Al momento del depósito, la tasa de interés era del 16,8% anual capitalizable por semestre. A los 18 meses, la tasa cambia al 14% capitalizable por cuatrimestre. Dos años y medio después, cambia al 16% capitalizable por meses. Determine el monto total acumulado.

Fórmula base:

M = C(1 + i/p)np

Resolución paso a paso:

• Periodo 1 (Primeros 18 meses / 3 semestres):
  M = 7.500(1 + (0,168 / 2))³ = 9.553,20
• Periodo 2 (Siguientes 2,5 años / 7,5 cuatrimestres):
  M = 9.553,20(1 + (0,14 / 3))^7,5 = 13.449,67
• Periodo 3 (Resto del tiempo / 24 meses):
  M = 13.449,67(1 + (0,16 / 12))²⁴ = 18.482,78

Caso 2: Inversión de 200.000 a 5 años

Se invirtieron 200.000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco pagaba el 16,8% anual capitalizable cada trimestre durante los primeros 3 años y medio. Después, la tasa cambió al 14% anual capitalizable mensualmente. Calcule el monto al finalizar los 5 años.

Resolución:

• Primer tramo (3,5 años / 14 trimestres):
  M = 200.000(1 + (0,168 / 4))¹⁴ = 335.777,1576
• Segundo tramo (1,5 años restantes / 18 meses):
  M = 335.777,1576(1 + 0,14 / 12)¹⁸ = 438.381

Cálculo de Tasas Equivalentes

Equivalencia Trimestral vs. Semanal

¿Cuál es la tasa nominal con capitalización trimestral que es equivalente a una tasa de interés del 22,8% anual capitalizable por semana?

Procedimiento:

(1 + i / 4)⁴ = (1 + 0,228 / 52)⁵² = 1,255459461

Para despejar i:
⁴√1,255459461 = 1,058523913
1,058523913 - 1 = 0,058523912
0,058523912 * 4 = 0,2340
0,2340 * 100 = 23,40%

Equivalencia Semestral vs. Mensual

Hallar la tasa nominal con capitalización semestral que es equivalente a una tasa del 20% con capitalización por mes.

Procedimiento:

(1 + i / 2)² = (1 + 0,20 / 12)¹² = 1,2193

Para despejar i:
²√1,2193 = 1,1042
1,1042 - 1 = 0,1042
0,1042 * 2 = 0,208552
0,208552 * 100 = 20,85%

Análisis de Inflación e Índices de Precios

Inflación en el periodo 2015-2017

Si el índice de precios fue de 85,3540 en el año 2015 y en junio de 2017 fue de 112,26, calcule la tasa de inflación ocurrida en ese periodo y la inflación promedio mensual.

Cálculo de Inflación Acumulada (λ):

λ = (P_f / P_i) - 1
112,26 / 85,3540 = 1,315228 - 1 = 0,3152
0,3152 * 100 = 31,5228%

Cálculo de Inflación Promedio Mensual (i):

i = ⁿ√(M / C) - 1
i = ¹⁸√(112,26 / 85,3540) = 1,0153 - 1 = 0,01533
0,01533 * 100 = 1,53%

Inflación en el primer semestre de 2011

Si el índice de precios de diciembre de 2010 fue de 97,3545 y en junio de 2011 fue de 99,9172, determine:

• A) La tasa de inflación en el primer semestre de 2011:
  λ = (99,9172 / 97,3543) - 1 = 1,02632 - 1 = 0,02632
  0,02632 * 100 = 2,63%
• B) La tasa promedio de inflación mensual:
  i = ⁶√(99,9172 / 97,3543) - 1 = 1,0043 - 1 = 0,004340
  0,004340 * 100 = 0,4340%

Fórmula alternativa para inflación promedio (λp):

λp = ⁿ√(1 + λ) - 1
λp = ⁶√(1 + 0,0263) - 1 = 0,004336
0,004336 * 100 = 0,434%

Inflación acumulada por tasas mensuales

Determine la inflación en el primer trimestre de 2013 si las inflaciones mensuales fueron: enero 0,40%, febrero 0,28%, marzo 0,63% y abril 0,25%.

Fórmula de inflación acumulada:

λ = (1 + λ₁)(1 + λ₂)(1 + λ₃)...(1 + λ_n) - 1

Cálculo (Enero a Marzo):
λ = (1 + 0,004)(1 + 0,0028)(1 + 0,0063) = 1,01315 - 1 = 0,01315
0,01315 * 100 = 1,32%

Cálculo de Unidades de Inversión (UDIS)

Si las UDIS aumentan su cotización 475 millonésimas por día, ¿en qué día estarán a 3,203193, si el primer día del mes estuvieron en 3,191318?

Fórmula de progresión aritmética:

N = (an - a1) / d + 1

Datos:

• a_n = 3,203193
• a₁ = 3,191318
• d = 0,000475

Resolución:

3,203193 - 3,191318 = 0,011875
0,011875 / 0,000475 = 25
25 + 1 = 26 días