Ejercicios Resueltos de Cálculo Multivariable y Diferenciabilidad

Ejercicios de Cálculo Multivariable

Ejercicio 1: Estudio de la Diferenciabilidad

Consigna: Estudie la diferenciabilidad de f(x, y) definida como:

• f(x, y) = x + (x * y²) / (x² + y²) si (x, y) ≠ (0, 0)
• f(0, 0) = 0

Solución paso a paso:

• Estudio de la Continuidad en (0, 0): Calculamos el límite de f(x, y) cuando (x, y) → (0, 0). El término (x * y²) / (x² + y²) se puede escribir como x * [y² / (x² + y²)]. Como 0 ≤ y² / (x² + y²) ≤ 1, el término entre corchetes está acotado. El producto de una función que tiende a 0 por una función acotada tiende a 0. Por lo tanto, f es continua en (0, 0).
• Cálculo de Derivadas Parciales en (0, 0):
  • fₓ(0, 0) = 1
  • fᵧ(0, 0) = 0
• Prueba de Diferenciabilidad: Al evaluar el límite del resto mediante coordenadas polares, obtenemos cos(θ) * sin²(θ). Como el límite depende del ángulo θ, el límite no existe y la función NO es diferenciable en (0, 0).

Ejercicio 2: Conceptos Teóricos

1. ¿Si f es continua en (a, b) existen las derivadas parciales? Respuesta: FALSO. Contraejemplo: f(x, y) = |x| + |y|.
2. ¿Si existen las derivadas parciales, f es diferenciable? Respuesta: FALSO. La existencia de derivadas parciales es condición necesaria, pero no suficiente.

Ejercicio 3: Estudio de Funciones y Extremos

Dada f(x, y) = (x² - y²) * (x - 1):

• Signo: La función se anula en las rectas y = x, y = -x y x = 1.
• Puntos Críticos: Se hallan mediante el gradiente igualado a cero: (0, 0), (2/3, 0), (1, 1) y (1, -1).
• Clasificación: Utilizando la Matriz Hessiana, se determina que (2/3, 0) es un mínimo relativo, mientras que los otros puntos son puntos de silla.
• Extremos Absolutos: No existen, ya que la función no está acotada en R².

Ejercicio 4: Integrales Dobles

Para la bola cerrada S de centro (0, 1) y radio 1:

• Descripción: Disco cerrado centrado en (0, 1).
• Cambio a Polares: Utilizando x = r cos(θ) e y = r sin(θ), la región se describe como 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ 2 sin(θ).

Ejercicio 5: Regla de la Cadena

Dada h = f ∘ g, se aplica la Regla de la Cadena mediante el producto de matrices jacobianas: Jₕ(-1, 1) = Jբ(g(-1, 1)) * J𝓰(-1, 1). El resultado obtenido es Jₕ(-1, 1) = [2, -8].