Ejercicios Resueltos de Álgebra y Aritmética: Operaciones Paso a Paso

I. Operaciones Aritméticas con Números Enteros y Fracciones

1. 2(-1) + (3 - 4) = -2 + (-1) = -3
2. 4(-1 + 2) + (-5) = 4(1) + (-5) = 4 - 5 = -1
3. (4/5) - (2/3) = (12 - 10) / 15 = 2/15
4. (1/6) x (1/5) = 1/30
5. (2/5) ÷ (1/6) = 12/5
6. (1/6 + 3/4) - 1/3 = (2/12 + 9/12) - 4/12 = 11/12 - 4/12 = 7/12
7. 5 - 2 + 3 - 4 = 3 + 3 - 4 = 2
8. -2 - 3 + (-5 x 2) = -5 + (-10) = -15
9. (3/4 + 1/6) - (-2/3) = (9/12 + 2/12) + 8/12 = 11/12 + 8/12 = 19/12

II. Valor Numérico: Sustitución de Variables

Sustituye cada letra por su valor y resuelve la operación indicada: a = -1, b = -2, c = 3

1. (1/2) ab = (1/2)(-1)(-2) = (1/2)(2) = 1
2. (2/5) a³c = (2/5)(-1)³(3) = (2/5)(-1)(3) = -6/5
3. (1/9) a – (1/3) b = (1/9)(-1) - (1/3)(-2) = -1/9 + 2/3 = (-1 + 6) / 9 = 5/9
4. 2a – 3b + 5c = 2(-1) – 3(-2) + 5(3) = -2 + 6 + 15 = 19
5. 3abc = 3(-1)(-2)(3) = 18
6. 2a²b²c = 2(-1)²(-2)²(3) = 2(1)(4)(3) = 24
7. (2a)³ = (2(-1))³ = (-2)³ = -8
8. (3bc)² = (3(-2)(3))² = (-18)² = 324
9. bc / a = (-2)(3) / (-1) = -6 / -1 = 6

III. Reducción de Términos Semejantes

1. Ejercicio de agrupación

3a + 5b² + a – 3b² = (3a + a) + (5b² - 3b²) = 4a + 2b²

2. Resta de polinomios

(2ab – 3b² + 5c) – (2b² – 5ab - 2c)

2ab – 3b² + 5c – 2b² + 5ab + 2c = 7ab - 5b² + 7c

IV. Multiplicación de Expresiones Algebraicas

• 2m por 2m = 4m²
• (8a²m – 3a) por am = 8a³m² – 3a²m
• (x² – 3x – 5) por (x + 5):
  x²(x + 5) - 3x(x + 5) - 5(x + 5)
  x³ + 5x² - 3x² - 15x - 5x - 25 = x³ + 2x² - 20x - 25

V. División de Expresiones Algebraicas

1. División de monomios

(20x³y⁴) ÷ (4x²y²) = 5xy²

2. División de polinomio por monomio

(35x⁵y + 30x⁴y² - 50x³y³) ÷ (-5x³y)

(35x⁵y / -5x³y) + (30x⁴y² / -5x³y) - (50x³y³ / -5x³y) = -7x² - 6xy + 10y²

3. División de polinomios

(21x⁴ – 41x³ – 5x² – 17x – 30) ÷ (7x + 5)

Cociente: 3x³ – 8x² + 5x - 6

Procedimiento:

• (21x⁴) / (7x) = 3x³
• Restamos: (21x⁴ - 41x³) - (21x⁴ + 15x³) = -56x³
• (-56x³) / (7x) = -8x²
• Restamos: (-56x³ - 5x²) - (-56x³ - 40x²) = 35x²
• (35x²) / (7x) = 5x
• Restamos: (35x² - 17x) - (35x² + 25x) = -42x
• (-42x) / (7x) = -6
• Restamos: (-42x - 30) - (-42x - 30) = 0