Ecuaciones de la Recta y Vectores: Conceptos y Fórmulas Fundamentales

Ecuaciones de la Recta

Para trabajar con rectas, definimos (x, y) como un punto genérico de la recta, A como el coeficiente que acompaña a la x, B el que acompaña a la y, y m como la pendiente (se calcula mediante el cociente de las componentes del vector director: v2/v1).

Tipos de ecuaciones

• Ecuación vectorial: (x, y) = (p1, p2) + t · (v1, v2)
• Ecuación paramétrica:
  • x = p1 + t · v1
  • y = p2 + t · v2
• Ecuación continua: (x - p1) / v1 = (y - p2) / v2
• Ecuación general (Ax + By + C = 0): Para obtener el vector director a partir de esta forma, se utiliza la relación (-B, A).
• Ecuación explícita: y = mx + n (para pasar de la forma explícita a la general, solo es necesario trasponer el término y).
• Ecuación punto-pendiente: y - p2 = m(x - p1). Se utiliza cuando se dispone de la pendiente y un punto, pero no del vector director.

Relación entre dos rectas

Para determinar la posición relativa de dos rectas, es recomendable expresarlas siempre en su forma general:

• r: Ax + By + C = 0
• s: A'x + B'y + C' = 0

Clasificación según sus coeficientes:

• Coincidentes: A/A' = B/B' = C/C'
• Paralelas: A/A' = B/B' ≠ C/C'
• Secantes: A/A' ≠ B/B' (las rectas se cortan en un punto).

Casos particulares de rectas secantes:

1. Perpendiculares: Realizamos el producto escalar de los vectores directores de r y s (obtenidos como -B, A). Si el resultado es 0, las rectas son perpendiculares; de lo contrario, son simplemente secantes.
2. Puntos de corte: Resolvemos el sistema de ecuaciones 2x2 formado por ambas rectas (preferiblemente por el método de reducción) para hallar las coordenadas del punto de intersección (x, y).

Construcción de rectas

• Construir una recta paralela: Partiendo de una recta Ax + By + C = 0, la paralela tendrá la forma Ax + By + D = 0. Sustituimos (x, y) por las coordenadas del punto dado para hallar el valor de D. Finalmente, reescribimos la ecuación con el nuevo valor.
• Construir una recta perpendicular: Partiendo de Ax + By + C = 0, la recta perpendicular tendrá la forma -Bx + Ay + D = 0.

Vectores

Combinación lineal

Dados los vectores v, u y w, buscamos los escalares a y b tales que se cumpla la igualdad: v = a(u) + b(w). Igualamos las componentes correspondientes y resolvemos el sistema para hallar a y b.

División de un segmento en N partes

Cuando nos dan dos puntos y el número de partes en las que se divide el segmento, seguimos estos pasos:

1. Calculamos el vector director entre los dos puntos: AB = B - A.
2. Dividimos el vector por el número de partes (N) para obtener la unidad de desplazamiento: u = AB / N.
3. Para hallar el Punto 1: sumamos el vector unitario al punto inicial: A + u.
4. Para hallar el Punto 2: sumamos el doble del vector unitario al punto inicial: A + 2u.

Producto y módulo de vectores

• Producto escalar: V · U = (V1 · U1) + (V2 · U2)
• Módulo de un vector: Si V = (x, y), su módulo se calcula como |V| = √(x² + y²).

Ángulo entre una recta y un vector

Para calcular el ángulo (usando el valor absoluto para asegurar un resultado positivo):

1. Calculamos el módulo de los dos vectores involucrados.
2. Aplicamos la fórmula del coseno: cos(α) = |u · v| / (|u| · |v|).
3. Introducimos el resultado en la calculadora mediante la función arc cos para obtener los grados.

Encontrar el punto de un paralelogramo

Si conocemos tres puntos (A, B, C) y necesitamos encontrar el cuarto punto D(x, y):

1. Calculamos el vector director AB y el vector DC.
2. Igualamos ambos vectores, ya que en un paralelogramo los lados opuestos son iguales y paralelos (ejemplo: (3, 4) = (C_x - x, C_y - y)).
3. Despejamos las incógnitas para obtener las coordenadas de D.