Ecuaciones diferenciales en economía: modelos R.MEDIA, WALRAS, logístico y sistemas matriciales

Modelos económicos mediante ecuaciones diferenciales

1. Modelo R.MEDIA (tipo de interés)

La ecuación indica que la variación instantánea del tipo de interés es proporcional (con constante de proporcionalidad k) a la diferencia entre el tipo de interés medio y el tipo de interés en cada instante, de forma que:

• a) si el tipo de interés está por debajo del tipo de interés medio (u), entonces en ese instante el tipo de interés crecerá.
• b) si el tipo de interés está por encima del tipo de interés medio, entonces en ese instante el tipo de interés decrecerá.

2. Modelo WALRAS (ajuste de precios)

Este modelo asume que, a medida que crece el precio P, la función de demanda (oferta) decrece (crece) linealmente con P. Es decir, las primeras ecuaciones modelizan el comportamiento de la oferta y la demanda como funciones lineales del precio.

El término P'(t) indica que en cada instante t la demanda depende del valor del precio en ese instante y de la velocidad con que cambia. Este es un comportamiento estándar del consumidor.

La tercera ecuación modeliza el ajuste del precio: la tasa de variación instantánea del precio P es proporcional (con j > 0, constante de proporcionalidad y parámetro que mide la velocidad del ajuste del precio) a la diferencia entre demanda y oferta, es decir, al exceso de demanda.

Resolución

Despejando en la forma y' + ay = b, es una EDO lineal de 1.er orden a coeficientes constantes.

1. Se obtiene la EDO lineal homogénea asociada (se denota, se integra y se toma exponencial).
2. Se obtiene una solución particular de la EDO completa (ensayando funciones constantes).
3. Solución general de la EDO completa.
4. Se aplican las condiciones iniciales.

3. Modelo LOGÍSTICO

1) Se resuelve el modelo: x'(t) = Kx - Kx². Se observa que la EDO no es lineal, porque la función incógnita x(t) está elevada al cuadrado.

Para poder resolver la solución de la EDO logística consiste en introducir el cambio de variable y = 1/x, entonces x = 1/y; x' = -y'/y². Se sustituye en la ecuación y se multiplica por -y², obteniendo una ecuación lineal de 1.er orden a coeficientes constantes.

• Se aplica el método de separación de variables: se denota, se integra y se toma exponencial.
• 2) Ahora se puede obtener la solución logística deshaciendo el cambio de variable.
• 3) Se aplica la condición inicial.

4. Bienes sustitutivos y complementarios

P.SUST: ante un aumento de la demanda de uno, se supone una disminución en la demanda del otro. Dado que el modelo describe productos que compiten en el mercado.

P.COMP: se observa que la tasa de variación de la demanda de x depende de la cantidad demandada de x + la cantidad demandada de y. Dicho de otro modo, a medida que aumenta la cantidad de x, aumentará la cantidad demandada de x.

5. Caso especulativo

B) ESPECULACIÓN:

• a) m > 0 significa que aumenta la demanda; este término modeliza el comportamiento especulativo. n > 0: ante el crecimiento rápido del precio, aumenta la demanda, debido a que los consumidores prefieren comprar ahora para vender luego.
• b) m > 0, n < 0: ante el crecimiento rápido del precio, aumenta la demanda, pero se corrige a la baja en n·P''(t) unidades.
• c) m < 0, n < 0: el comportamiento deja de ser especulativo, lo que significa que la demanda disminuye.

Para resolver el modelo se aplica la condición de equilibrio:

1. Se resuelve la EDO lineal homogénea asociada, mediante ensayo de Euler con funciones de la forma e^(rt).
2. Se busca una solución particular de la EDO completa, ensayando con funciones constantes.
3. La solución general de la EDO completa es la suma de la homogénea asociada más la solución particular.
4. Se aplican las condiciones iniciales y se resuelven las constantes.

EXPECTATIVAS: tanto la demanda como la oferta dependen del precio P y también de la tendencia del precio.

Signos: simbiosis (+ +), competencia (- -), complementariedad (- +), depredación.

6. Caso homogéneo: sistemas matriciales

Se expresa matricialmente: P'(t) = A·P(t), con P = (P1, P2) y A la matriz de coeficientes, cuya solución viene dada por P(t) = e^(A·t) · P0.

* Para ver si A es diagonalizable:

1. Se calculan los valores propios. Si los valores propios son distintos, A es diagonalizable; cuando hay valores propios repetidos, para saber si es diagonalizable hay que encontrar tantos vectores propios como veces se repite el valor propio.
2. Se calculan los vectores propios resolviendo (A - rI)·(V1, V2) = (0, 0).
3. Se escribe A = P·D·P⁻¹.
4. La solución de la ecuación diferencial de 1.er orden a coeficientes matriciales constantes P' = A·P es P(t) = e^(A·t) · P0, que es la condición inicial.

7. Sistema completo

Las cuatro primeras ecuaciones indican que las funciones de oferta y demanda de ambos bienes son funciones lineales del precio de ambos bienes en cada instante. Las dos últimas ecuaciones indican que la tasa de variación instantánea del precio de cada uno de los bienes es proporcional (con constantes arbitrarias de proporcionalidad) al exceso de demanda en cada instante.

Para cada bien se transforma el sistema en un sistema matricial de la forma X' = A·X + b, cuya solución es X = e^(At)·(X0 + A⁻¹·b) - A⁻¹·b.

1. Se resuelve la solución homogénea asociada: X = e^(A·t)·(c1, c2). Se calculan valores propios, vectores propios, A = PDP⁻¹. Por tanto, la solución homogénea es...
2. Se obtiene una solución particular de la ecuación completa: X = -A⁻¹·b.
3. Solución general completa: suma de la homogénea y la particular.
4. Se determinan C1 y C2 aplicando las condiciones iniciales. Por tanto, se obtiene la solución general.