Ecuaciones Diferenciales en Economía: Modelos de Mercado, Tipos de Interés y Sistemas Lineales

1. Modelo de Richard (tipo de interés)

R. MEDIA: La ecuación nos indica que la tasa de variación instantánea del tipo de interés es proporcional (con la constante de proporcionalidad) a la diferencia entre el tipo de interés medio y el tipo de interés en cada instante, de forma que:

• a) si el tipo de interés está por debajo del tipo de interés medio (u), entonces en ese instante el tipo de interés crecerá;
• b) si el tipo de interés está por encima del interés medio, entonces en ese instante el tipo de interés decrecerá.

2. Modelo de Walras (precio y mercado)

WALRAS: Este modelo asume que, a medida que crece el precio P, la función de demanda (oferta) decrece (crece) linealmente con P. Es decir, las primeras ecuaciones modelizan el comportamiento de la oferta y la demanda como funciones lineales del precio.

$ El término P'(t) indica que, en cada instante t, la demanda depende del valor del precio en ese instante y de la velocidad con que cambia. $ Este es un comportamiento estándar del consumidor.

La 3.ª ecuación modela el ajuste del precio: la tasa de variación instantánea del precio P es proporcional (con j > 0 constante de proporcionalidad y parámetro que mide la velocidad del ajuste del precio) a la diferencia entre la demanda y la oferta, es decir, al exceso de demanda.

3. Resolución de la EDO lineal de primer orden

Despejando, la forma y' + ay = b es una EDO lineal de 1.er orden a coeficientes constantes.

• 1) Obtenemos la EDO lineal homogénea asociada (denotamos, integramos, tomamos exponenciales).
• 2) Obtenemos una solución particular de la EDO completa (ensayamos con función constante).
• 3) Solución general de la EDO completa.
• 4) Aplicamos las condiciones iniciales.

4. Modelo logístico

LOGÍSTICO:

• 1) Resolvemos el modelo x'(t) = Kx - Kx². Observamos que la EDO no es lineal, porque la función incógnita x(t) está elevada al cuadrado. /*/ Para resolver la EDO logística se introduce el cambio de variable y = 1/x, de modo que x = 1/y y x' = -y'/y². Sustituimos en la ecuación y multiplicamos por -y², obteniendo una ecuación lineal de 1.er orden a coeficientes constantes. /*/ Aplicamos el método de separación de variables: denotamos, integramos, tomamos exponenciales.
• 2) Obtenemos la solución logística deshaciendo el cambio de variables.
• 3) Aplicamos la condición inicial.

5. Modelo especulativo: análisis de los parámetros

B: a) m > 0 significa que aumenta la demanda; este término modeliza el comportamiento especulativo. n > 0: el comportamiento de la demanda ante el crecimiento rápido del precio hace que aumente la demanda, porque se prefiere comprar ahora para vender luego.

b) m > 0, n < 0: el comportamiento de la demanda, ante el crecimiento rápido del precio, aumenta la demanda, pero se corrige a la baja en nP''(t) unidades.

c) m < 0, n < 0: el comportamiento deja de ser especulativo, lo que significa que la demanda disminuye.

* Para resolver el modelo aplicamos la condición de equilibrio.

• 1) Resolvemos la EDO lineal homogénea asociada, por ensayo de Euler con funciones de la forma e^(rt).
• 2) Buscamos una solución particular de la EDO completa: ensayamos con funciones constantes.
• 3) La solución general de la EDO completa será la suma de la solución homogénea asociada más la solución particular de la EDO completa.
• 4) Aplicamos las condiciones iniciales y resolvemos las constantes.

Símbolos: + y - indican el comportamiento (+ simbiosis, - competencia, + depredación).

6. Sistemas homogéneos de EDO

C: HOMOGÉNEA: Expresamos matricialmente el sistema, es decir, P'(t) = A·P(t), con P = (…) y A = (…), cuya solución viene dada por P(t) = e^A·t · P₀.

Veamos si A es diagonalizable:

• 1) Calculamos los valores propios. Si los valores propios son distintos, A es diagonalizable. Cuando los valores propios se repiten, para saber si es diagonalizable hay que encontrar tantos vectores propios como veces se repite el valor propio.
• 2) Calculamos los vectores propios: (A - rI)·(V₁ V₂) = (0 0).
• 3) Escribimos A = P·D·P⁻¹.
• 4) La solución de la ecuación diferencial de 1.er orden a coeficientes matriciales constantes P' = A·P es P(t) = e^A·t · P₀, donde P₀ es la condición inicial. Resolvemos.

7. Sistema completo (no homogéneo)

COMPLETO:

• 1) Resolvemos la solución homogénea asociada: X = e^A·t · (k₁/k₂). Calculamos valores, vectores y escribimos A = PDP⁻¹.
• 2) Obtenemos la solución particular de la ecuación completa: X = -A⁻¹ · b.
• 3) Solución general completa.
• 4) Determinamos C₁ y C₂ aplicando las condiciones iniciales.

8. Interpretación económica

En ambas ecuaciones observamos que, ante un aumento de la demanda de un producto, se supone una disminución en la demanda del otro. Esto indica que se trata de productos sustitutivos que compiten en el mercado (P. SUST.).

Observamos también que la tasa de variación de la demanda de x depende de la cantidad demandada de x más la cantidad demandada de y. Esto indica que, a medida que aumenta la cantidad de x, aumenta la cantidad demandada de x (P. COMP., productos complementarios).