Ecuaciones de conservación en mecánica de fluidos: masa, cantidad de movimiento y energía

Ecuaciones de conservación en mecánica de fluidos

1. Formulación integral de los volúmenes de control

Derivada de integrales extendidas a un volumen de fluido:

d/dt[∫_Vf(t) φ(x,t) dV] = ∫_Vf(t) ∂φ/∂t · dV + ∫_Sf(t) φ(x,t) v·n dS

Ecuación del volumen de control

d/dt[∫_Vf(t) φ dV] = d/dt∫_Vc(t) φ · dV + ∫_Sc(t0) φ(v-v_c)n dS

2. Ecuación de conservación de la masa

Ecuación de conservación de la masa

φ = ρ → dρ/dt + ρ divv = 0

3. Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (forma integral)

∫_Vf(t0) ∂(ρv)/∂t · dV + ∫_Sf(t0) ρv(v·n) dS = ∫_Sf(t0) n·τ dS + ∫_Vf(t0) ρf_m dV

d/dt ∫_Vc(t) ρv dV + ∫_Sc(t) ρv[(v-v_c)·n] dS = ∫_Sc(t) τ·n dS + ∫_Vc ρf_m dV

Cantidad de movimiento en forma diferencial

ρ[∂v_i/∂t + v_j ∂v_i/∂x_j] = ∂τ_ij/∂x_j + ρf_mi

ρ[∂v/∂t + v·∇v] = div τ + ρf_m

4. Momento cinético

Ecuación de conservación del momento cinético

d/dt∫_Vc(t) (x×ρv) dV + ∫_Sc (x×ρv)(v-v_c)·n dS = ∫_Sc (x×τ·n) dS + ∫_Vc (x×ρf_m) dV

5. Constitutiva y ecuaciones de Navier-Stokes

Ley de Navier-Poisson

τ_ij = -p δ_ij + λ(divv) δ_ij + μ[∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i]

Ecuación de Navier-Stokes

ρ Dv/Dt = -∇p + μ∇²v + ρf_m

6. Conservación de la energía mecánica

Ecuación de conservación de la energía mecánica

ρ D/Dt(v²/2) = -∇p·v + (div τ')·v + ρf_m·v

Ecuación de Bernoulli

P/ρ + v²/2 + U = cte

7. Conservación de la energía en forma diferencial

Conservación de la energía (forma diferencial)

ρ D/Dt(e + v²/2) = -∇·q + Q_r + Q_q + ∇·(τ·v) + ρf_m·v

Conservación de la energía interna

ρ De/Dt = -p∇·v + φ_v - ∇·q + Q_r + Q_q

8. Cinemática del movimiento

Movimiento permanente o estacionario

∂/∂t = 0

Movimiento uniforme y movimiento plano

Para un plano normal a una dirección: v_z = 0, ∂/∂z = 0

Movimiento axisimétrico

v_φ = 0, ∂/∂φ = 0, v = v_r(r,z,t)e_r + v_z(r,z,t)e_z

9. Líneas de corriente, trayectorias, sendas y trazas

Línea de corriente (LC): en todo punto es tangente al campo de velocidades: dx/v_x = dy/v_y = dz/v_z

Trayectoria: v_x = dx/dt

Senda: trayectoria prolongada sin la influencia del tiempo.

Traza: línea formada por todas las partículas fluidas que han pasado por ese punto durante todo ese tiempo.

En movimiento permanente: senda = LC = traza.

Derivada sustancial: derivada siguiendo la partícula fluida. Para una porción de fluido suficientemente pequeña, su posición viene definida por su centro de masas: Dφ/Dt = ∂φ/∂t + v·∇φ. Aceleración: a = Dv/Dt.

Cinemática de la trayectoria: dx/v_x = dy/v_y = dz/v_z = dt

Derivada material o total: a_i = Dv_i/Dt = ∂v_i/∂t + v_x∂v_i/∂x + v_y∂v_i/∂y + v_z∂v_i/∂z

10. Tensores de deformación y rotación

Tensor de deformación D

D = ½(∇v + ∇v^T) = ½[2∂v_x/∂x, ∂v_x/∂y + ∂v_y/∂x, ∂v_x/∂z + ∂v_z/∂x; ·, 2∂v_y/∂y, ∂v_y/∂z + ∂v_z/∂y; ·, ·, 2∂v_z/∂z]

Tensor de rotación R

R = ½(∇v - ∇v^T) = ½[0, ∂v_x/∂y - ∂v_y/∂x, ∂v_x/∂z - ∂v_z/∂x; ∂v_y/∂x - ∂v_x/∂y, 0, ∂v_y/∂z - ∂v_z/∂y; ∂v_z/∂x - ∂v_x/∂z, ∂v_z/∂y - ∂v_y/∂z, 0]

Tensor gradiente: ∇v = [∂v_x/∂x, ∂v_x/∂y; ∂v_y/∂x, ∂v_y/∂y]

11. Flujos particulares

Líquido incompresible: divv = 0

Irrotacional: rotv = 0

Forma diferencial

Masa: ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0; divv = 0 (flujo incompresible)

Flujo incompresible bidimensional: v = v_x(x,y,t)e_x + v_y(x,y,t)e_y, con φ función de corriente: v_x = ∂φ/∂y, v_y = -∂φ/∂x

Movimiento: ρDv/Dt = div(τ) + ρf_m; τ = -pI + τ_v; τ_v = λ(divv)I + 2μD

Navier-Stokes: ρDv_i/Dt = -∂p/∂x_i + μ∇²v_i + ρf_mi

Energía: ρD/Dt(e + v²/2 + u) = div(τ·v) - div(q) + q'_r + q'_q; q = -k∇T

Energía mecánica: ρD/Dt(v²/2 + u) = div(τ)·v = div(τ·v) + p divv - φ_v; φ_v = τ_v:D

Energía interna: ρDe/Dt = -p divv + φ_v - div(q) + q'_r + q'_q

12. Balances integrales

Integrales

Masa: d/dt∫_Vf(t) ρ dV = d/dt∫_Vc(t) ρ dV + ∫_Sc(t) ρ(v-v_c)·n dS = 0

dM(t)/dt = ρ₁v₁A₁ - ρ₂v₂A₂ = 0 (en régimen estacionario)

G = ∫_S1 ρv·n dS = ρ₁v₁A₁

Q₁ = ∫_S1 v·n dS = v₁A₁

Movimiento: d/dt∫_Vc(t) ρv dV + ∫_Sc(t) ρv[(v-v_c)·n] dS = ∫_Sc(t) τ·n dS + ∫_Vc(t) ρf_m dV

F = [(p₁-p_a)A₁ - (p₂-p_a)A₂ + ρ₁v₁²A₁ - ρ₂v₂²A₂]e_x - M_fge_z

F = [(p₁-p_a)A₁e_x + (p₂-p_a)A₂e_z + ρ₁v₁²A₁e_x + ρ₂v₂²A₂e_z] - M_fge_z

F = [(p₁-p_a)A₁e_x + (p₂-p_a)(-√2/2e_x + √2/2e_z) + ρ₂A₂v₂(-√2/2e_x + √2/2e_z)v₂]

Energía total: d/dt∫_Vf ρ(e + v²/2 + u) dV = ∫_Sf (τ·n)·v dS + ∫_Vf (q'_r + q'_q) dV - ∫_Sf q·n dS

Balance de energía a máquina de flujo: G(e + v²/2 + U)|_e^s = p_ev_eA_e - p_sv_sA_s + W' + Q'

G[(h_s-h_e) + (v_s²-v_e²)/2 + (u_s-u_e)] = W' + Q'

Energía interna con ρ = cte: d/dt∫_Vf ρe dV = ∫_Vf (q'_r + q'_q) dV - ∫_Sf q·n dS + ∫_Vf φ_v dV

Energía mecánica con ρ = cte: d/dt∫_Vf ρ(v²/2 + u) dV = ∫(τ·n)·v dS - ∫_Vf φ_v dV

Balance de energía a máquina de flujo incompresible: G(e + P/ρ + v²/2 + u) = W' + Q'

G(e_s - e_e) = Q' + φ'_v

Energía interna: G(P/ρ + v²/2 + u)|_e^s = W' - φ'_v

Máquina de bombeo (bombas): W' > 0, η_het = G(P/ρ + v²/2 + u)/W' = (W' - φ'_v)/W'

Turbina: W' < 0, η_het = W'/[G(P/ρ + v²/2 + U)] = W'/(W' - φ'_v)