Ecuaciones
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.
Eliminación de una incógnita.
Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.
Los métodos de eliminación son:
1º. Por adición o sustracción.
2º. Por igualación.
3º. Por sustitución.
1º. Eliminación por adición o sustracción:
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:
a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Solución:
Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:
2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":
de la siguiente manera:
2x+y=-10
2x-6y=18
-7y=28 (+y-6y,se suman y se pone el signo del mayor)(igual que -10 con el 18)
se obtiene:
y=28/-7
y = -4. (28/-7 , menos entre más a menos)
Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":
x - 3y = 9
x - 3(-4) = 9
x + 12 = 9
x = -3;
por tanto: x = -3; y = -4.
2º. Eliminación por igualación:
a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,
x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).
Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":
22 - 2y = (7 + y) / 4
Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:
(para quitar el 4 como denominador se hace el mcm de la siguiente manera)
22 -2y = (7+y)
1 1 4 (4 entre 1 por 22, 4 entre 1 por -2y…)
Quedaría así;
88 - 8y = 7 + y
-9y = -81
y = 9
Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = 22 - 2(9)
x = 4
por tanto: x = 4; y = 9.
3º. Eliminación por sustitución.
a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 - y
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Sustitúyase (3) en (2):
4 [(22 - y)/ 3] - 3y = -1
4 [(22 - y)] - 3y = -1 (Se multiplica 4/1 por 22-y/3)
3
88-4y _ 3y = -1 (Se pone el mismo denominador para 3,1 (m-c-m =3),
3 1 dividiendolo por el denominador y multiplicando por el numerador)
88-4y-9y = -1 3
88-4y-9y=-3 (El 3 que esta dividiendo pasa multipicando y menos por mas menos)
-13y = -91 (se agrupan las incognitas (Y) y se pasa al otro lado el 88 que pasa negativo)
y = -91 (menos entre menos a más) -13
y = 7.
Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
x = (22 - 7) / 3
x = 5
por tanto: x = 5; y = 7.
Observaciones:
1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.
2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.
3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.
Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.
Eliminación de una incógnita.
Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.
Los métodos de eliminación son:
1º. Por adición o sustracción.
2º. Por igualación.
3º. Por sustitución.
1º. Eliminación por adición o sustracción:
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:
a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Solución:
Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:
2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":
de la siguiente manera:
2x+y=-10
2x-6y=18
-7y=28 (+y-6y,se suman y se pone el signo del mayor)(igual que -10 con el 18)
se obtiene:
y=28/-7
y = -4. (28/-7 , menos entre más a menos)
Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":
x - 3y = 9
x - 3(-4) = 9
x + 12 = 9
x = -3;
por tanto: x = -3; y = -4.
2º. Eliminación por igualación:
a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,
x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).
Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":
22 - 2y = (7 + y) / 4
Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:
(para quitar el 4 como denominador se hace el mcm de la siguiente manera)
22 -2y = (7+y)
1 1 4 (4 entre 1 por 22, 4 entre 1 por -2y…)
Quedaría así;
88 - 8y = 7 + y
-9y = -81
y = 9
Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":
x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),
x = 22 - 2(9)
x = 4
por tanto: x = 4; y = 9.
3º. Eliminación por sustitución.
a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:
3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),
4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 - y
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
Sustitúyase (3) en (2):
4 [(22 - y)/ 3] - 3y = -1
4 [(22 - y)] - 3y = -1 (Se multiplica 4/1 por 22-y/3)
3
88-4y _ 3y = -1 (Se pone el mismo denominador para 3,1 (m-c-m =3),
3 1 dividiendolo por el denominador y multiplicando por el numerador)
88-4y-9y = -1 3
88-4y-9y=-3 (El 3 que esta dividiendo pasa multipicando y menos por mas menos)
-13y = -91 (se agrupan las incognitas (Y) y se pasa al otro lado el 88 que pasa negativo)
y = -91 (menos entre menos a más) -13
y = 7.
Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".
x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).
x = (22 - 7) / 3
x = 5
por tanto: x = 5; y = 7.
Observaciones:
1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.
2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.
3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.
Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.