Ecuación de Slutsky y Teoría de la Oferta de Trabajo en Microeconomía

La Ecuación de Slutsky

Si tomamos como restricción en el problema de maximización de la utilidad el nivel de gasto resultante del problema de minimización del gasto, o si tomamos como restricción en el problema de minimización del gasto el nivel de utilidad resultante del problema de maximización de la utilidad, entonces las soluciones $X_i^*$ a los dos problemas y los valores de las funciones de demandas marshallianas y hicksianas serían idénticos.

Derivación Matemática

Sea $M = m(p, u)$, se puede escribir para el bien $i$:
$x_i^* = x_i^h(P, u) = X_i^*(P, m(p, u))$

Diferenciando respecto de $p_j$:
$\partial x_i^h / \partial P_j = \partial x_i^* / \partial P_j + (\partial x_i^* / \partial M) \times (\partial m / \partial P_j)$

Utilizamos el Lema de Shephard:
$\partial x_i^h / \partial P_j = \partial X_i^* / \partial P_j + (\partial X_i^* / \partial M) \times X_j^h$

Reordenamos para obtener la Ecuación de Slutsky:
$\partial X_i^* / \partial P_j = \partial X_i^h / \partial P_j - X_j^h \times (\partial X_i^* / \partial M)$

Esta es la expresión de Slutsky cruzado.

Expresión en Forma de Elasticidad

La Ecuación de Slutsky puede expresarse en forma de elasticidad multiplicando cada miembro de la ecuación por $P_j / x_i^*$:

$\epsilon_{ij} = \epsilon_{ij}^h - \epsilon_{im} \times S_j$ con ($S_j = P_j X_j / M$) $\rightarrow$ Proporción del bien $j$ respecto del gasto total.

Efecto Propio

$\partial X_i^* / \partial P_i = \partial X_i^h / \partial P_i - X_i^h \times (\partial X_i^* / \partial M)$

$\epsilon_{ii} = \epsilon_{ii}^h - \epsilon_{im} \times S_i$ con $S_i = P_i X_i / M$.

• Si un bien es normal: $\partial X_i^* / \partial M > 0$ ($\uparrow M \downarrow X_i$). La pendiente de su curva de demanda marshalliana es negativa.
• Si un bien es inferior: $\partial X_i^* / \partial M \leq 0$ ($\uparrow M \downarrow X_i$). La pendiente de su curva de demanda marshalliana será $-$, $+$ o $0$ dependiendo de los tamaños relativos de los valores absolutos de: $|\partial x_i^h / \partial P_i|$ y $|X_i \times \partial X_i^* / \partial M|$.

Consumidor como Oferente de Trabajo

$\max u(x, l)$ s.a. $\sum P_i X_i \leq M + wh$ y $T = h + l$.

Suponiendo un único bien compuesto y eliminando la variable ocio:
$\max v(x, h)$ s.a. $px = M + wh$ con $V_x > 0$ y $V_h < 0$.

Solución mediante el Lagrangiano:
$L(x, h, \lambda) = V(x, h) + \lambda(wh + M - px)$
$\partial L / \partial x = V_x - \lambda p = 0 \rightarrow V_x = \lambda p \rightarrow \lambda = V_x / p$
$\partial L / \partial h = V_h + \lambda w = 0 \rightarrow V_h = -\lambda w \rightarrow \lambda = -V_h / w$
$\partial L / \partial \lambda = wh + M - px = 0$
RMS $= -V_h / V_x = w / p$

Al resolver este problema obtenemos la demanda del bien compuesto y la oferta de trabajo marshalliana:
$x^*(w, p, M)$
$h^*(w, p, M)$

Gráficas, Consumo y Asignación del Tiempo

$\max u(x_1, x_2)$ s.a. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = M + wh$ y $T = t_1 X_1 + T_2 X_2 + h$

$\max u(x_1, x_2)$ s.a. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = M + w(T - t_1 x_1 - t_2 x_2)$

$\max u(x_1, x_2)$ s.a. $(p_1 + wt_1)x_1 + (p_2 + wt_2)x_2 = M + wT = F$

Obtenemos:

1. Pendiente de la renta presupuestaria implícita $F$: $\partial x_2 / \partial x_1 = -(p_1 + wt_1) / (p_2 + wt_2)$
2. Pendiente de la recta de restricción monetaria $P$: $\partial x_2 / \partial x_1 = -P_1 / P_2$
3. Pendiente de la recta de restricción temporal $T$: $\partial x_2 / \partial x_1 = -t_1 / t_2$

Supongamos que $> 0$. $> wt_1 / (p_1 + wt_1)$