Ecuación de la recta y2-y1

Newton

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.Supongamos que tenemos la aproximación x_i a la raíz x_r de f(x), 

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (x_i, f(x_i)); ésta cruza al eje x en un punto x_i+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz x_r.

Para calcular el punto x_i+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

m = f’(x_i)

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

y – f(x_i) = f’(x_i)(x – x_i)

Hacemos y = 0:

- f(x_i) = f’(x_i)(x - x_i)

Y despejamos x:

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

 si

Note que el método de Newton-Raphson  no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que f’(x_i) = 0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso x_i misma es una raíz de f(x).