Ecuación de Bernoulli y leyes de la mecánica de fluidos

ECUACIÓN DE BERNOULI

Es una de las ecuaciones que con mas frecuencia se utiliza en aplicaciones de flujo de fluidos que cualquier otra ecuación.

La derivación de esta importante ecuación, empieza con la aplicación de la segunda ley de Newton a una partícula de fluido.

Donde:

• = / + /
• = / + /
• = /
• = /

La ecuación resultante de Bernoulli es: / (2 /2 + / + ℎ) = 0

Esta se satisface a lo largo de la línea de la corriente: 2 /2 + / + ℎ = ???????????????????????????????

Donde la constante puede tomar un valor diferente en una línea de corriente diferente. Entre dos puntos en la misma línea de corriente. 1 2 /2 + 1 / + ℎ1 = 2 2 /2 + 2 / + ℎ2

Dividiendo todo por la gravedad: 1 2/ 2 + 1 / + ℎ1 = 2 2/ 2 + 2 / + ℎ2

Donde 1/ + ℎ1 se le denomina altura piezométrica.

La presión en la ecuación se le considera presión estática.

La suma + 2 2 = , se le denomina presión total o presión de estancamiento.

La presión estática en un tubo se ´puede medir con u piezómetro.

Conservación de la masa: /INT = 0

Primera ley de la termodinámica: La velocidad de transferencia de calor a un sistema menos la velocidad con la que el sistema realiza trabajo es igual a la velocidad con la que cambia la energía del sistema.

− = / INT

Segunda ley de Newton establece que: La fuerza resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad con la que cambia la cantidad de movimiento del sistema.

SUM = / INT

Ecuación de momento de cantidad de movimiento establece que:

El momento resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad con que cambia la cantidad de movimiento angular del sistema.

Transformación de un sistema a volumen de control

En cada una de las leyes básicas la cantidad integral es una propiedad extensiva del sistema.

Nsistema denota esta propiedad extensiva. /

Además se incluye el término ɳ, como la propiedad intensiva. NSIST = INT Npdvol

En Mecánica de fluidos nos interesa la velocidad de cambio de la propiedad extensiva. Lo que se representa mediante: /

Un flujo es una medida de la velocidad con la que una propiedad extensiva cruza un área.

Por ejemplo un flujo de masa es la velocidad con la cual una masa atraviesa un área.

SUPERFICIE DE CONTROL, es el área de la superficie que encierra por completo al volumen de control = ɳ ň A

VOLUMEN DE CONTROL, es el espacio donde se concentra el interés del estudio, en el cual entra el fluido y desde el cual sale.

Sistema y volumen de control fijo en tiempo t y Δt

Se puede representar de la siguiente manera: / = lim ∆→0 ( + ∆ )− ( )/∆t

Teorema de transporte de Reynolds .

Esta es una transformación Lagrangiana en Euleriana de la velocidad de cambio de una cantidad integral extensiva.

La primera integral representa la velocidad de cambio de la propiedad extensiva en el volumen de control

La segunda representa el flujo de la propiedad extensiva a través de la superficie de control. / = / INT ɳ + INT ɳ ň A

Transformación de un sistema a volumen de control

/ = INT ɳ ň A

Conservación de la Masa

Un sistema es un conjunto dado de partículas de fluido; por consiguiente su masa permanece fija: / = / INT = 0

Considerando el teorema de transporte de Reynodls 0 = / INT ɳ + INT ň A

Si el flujo es continuo, el resultado es: 0 = INT ň A

Para un flujo uniforme con una entrada y una salida, adopta la forma: 2????2????2 = 1????1????1

Donde: ň1????1 = −????1 ň2????2 = ????2

Si la densidad es constante: 2????2 = ????1V1

Flujo de masa: = INT ??????????????????

Flujo de Volumen: = INT????????????????A