Dominio de Matemáticas IV: Polinomios, Límites y Funciones Exponenciales
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Matemáticas IV: Temario de Estudio
Ejercicio 1: División Sintética
A continuación se presentan diversos ejercicios resueltos utilizando el método de división sintética para simplificar polinomios.
Problema A
(-3x³ + 4x² - 5x + 1) ÷ (x - 2) | Raíz = 2
2 | -3 4 -5 1
| -6 -4 -18
| -3 -2 -9 -17
Cociente: -3x² - 2x - 9
Residuo: -17
Problema B
(2x⁴ - 3x² + 5x + 1) ÷ (x - 2) | Raíz = 2
2 | 2 0 -3 5 1
| 4 8 10 30
| 2 4 5 15 31
Cociente: 2x³ + 4x² + 5x + 15
Residuo: 31
Problema C
(x⁵ - 7) ÷ (x + 2) | Raíz = -2
-2 | 1 0 0 0 0 -7
| -2 4 -8 16 -32
| 1 -2 4 -8 16 -39
Cociente: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16
Residuo: -39
Problema D
(3x⁴ - 2x³ + 4x - 7) ÷ (x + 3) | Raíz = -3
-3 | 3 -2 0 4 -7
| -9 33 -99 285
| 3 -11 33 -95 278
Cociente: 3x³ - 11x² + 33x - 95
Residuo: 278
Ejercicio 2: Factorización (Ceros Reales)
Determinación de los ceros de una función mediante factorización y pruebas de raíces.
Función Cuadrática
f(x) = x² + x - 12
- (a)(b) = -12
- (a) + (b) = 1
- → (-3)(4) = -12; (-3) + (4) = 1
Factorización: f(x) = (x - 3)(x + 4)
Ceros: x = 3, x = -4
Función Cúbica
f(x) = x³ - 4x² + x + 6
Prueba x = -1: (-1)³ - 4(-1)² + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0 ✓
-1 | 1 -4 1 6
| -1 5 -6
| 1 -5 6 0
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Factorización: f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)
Ceros: x = -1, 2, 3
Función de Cuarto Grado
f(x) = x⁴ - 5x² + 4
Sustituye u = x²: u² - 5u + 4 = (u - 1)(u - 4)
Factorización: f(x) = (x² - 1)(x² - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
Ceros: x = ±1, x = ±2
Función Cúbica Adicional
f(x) = x³ - 2x² - 5x + 6
Prueba x = 1: 1 - 2 - 5 + 6 = 0 ✓
1 | 1 -2 -5 6
| 1 -1 -6
| 1 -1 -6 0
x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Factorización: f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)
Ceros: x = 1, 3, -2
Ejercicio 3: Evaluación de Funciones
Evaluación de la función f(x) = 2x³ - 4x² + 2x - 5 para diferentes valores de x.
| x | Cálculo | f(x) |
|---|---|---|
| F(1) | 2 - 4 + 2 - 5 | -5 |
| F(-1) | -2 - 4 - 2 - 5 | -13 |
| F(2) | 16 - 16 + 4 - 5 | -1 |
| F(4) | 128 - 64 + 8 - 5 | 67 |
| F(1/2) | 1/4 - 1 + 1 - 5 | -4.75 |
Ejercicio 4: Funciones Racionales
Análisis de dominio, ceros y asíntotas en funciones racionales.
| f(x) | Dominio | Ceros | Asíntota V. | Asíntota H. |
|---|---|---|---|---|
| (x³ + 3x² + 2x) / (x² + 3x + 2) | R \ {-1, -2} | x = 0 | Ninguna | y = x (Oblicua) |
| (4x² + 4) / (2x² - 8) | R \ {2, -2} | Ninguno | x = ±2 | y = 2 |
| (x² - 1) / (x - 1) | R \ {1} | x = -1 | Ninguna | - |
| (x + 2) / (x - 3) | R \ {3} | x = -2 | x = 3 | y = 1 |
| (x - 1) / (2x + 3) | R \ {-3/2} | x = 1 | x = -3/2 | y = 1/2 |
Ejercicio 5: Límites
Cálculo de límites algebraicos y determinación de tendencias.
- lim x→1 [x² / (x - 1)²] = +∞
- lim x→4 [(x² - 16) / (x - 4)]
= (x - 4)(x + 4) / (x - 4) = x + 4 → 4 + 4 = 8 - lim x→-2 [(2x² - 10x + 12) / (x² + 3x - 10)]
= 2(x - 2)(x - 3) / (x + 5)(x - 2) = 2(x - 3) / (x + 5) → 2(-5) / 3 = -10/3 - lim x→-1 [(x² - 4x - 5) / (x² + 10x + 9)]
= (x - 5)(x + 1) / (x + 9)(x + 1) = (x - 5) / (x + 9) → -6 / 8 = -3/4 - lim x→-3 [(x⁴ - 81) / (x + 3)]
= (x - 3)(x + 3)(x² + 9) / (x + 3) = (x - 3)(x² + 9) → (-6)(18) = -108
Ejercicio 6: Funciones Exponenciales
Tabulación y comportamiento de funciones exponenciales en el intervalo de x de -3 a 3.
a) f(x) = 4(2ˣ)
Propiedad: Creciente | Asíntota: y = 0
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
b) f(x) = 2(3⁻ˣ) + 1
Propiedad: Decreciente | Asíntota: y = 1
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 55 | 19 | 7 | 3 | 5/3 | 11/9 | 29/27 |
c) f(x) = 5ˣ
Propiedad: Creciente | Asíntota: y = 0
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 1/125 | 1/25 | 1/5 | 1 | 5 | 25 | 125 |
d) f(x) = 2(3ˣ)
Propiedad: Creciente | Asíntota: y = 0
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 2/27 | 2/9 | 2/3 | 2 | 6 | 18 | 54 |
e) f(x) = -(1/2)ˣ + 4
Propiedad: Creciente | Asíntota: y = 4
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | -4 | 0 | 2 | 3 | 7/2 | 15/4 | 31/8 |