Dominio, Continuidad y Cálculo de Intervalos de Confianza en Matemáticas

Estudio de Funciones Reales

Dominio de una Función

El dominio se define según el tipo de función:

• En funciones polinómicas normales: el dominio es todo &mathbb{R}.
• En funciones racionales (fracciones): se iguala el denominador a 0 y esos valores resultantes están excluidos del dominio.
• En raíces con índice par: no se puede calcular la raíz de un número negativo; por lo tanto, lo contenido dentro de la raíz debe ser mayor o igual a 0 (ejemplo: [3, +infinito)).
• En raíces con índice impar: el dominio es todo &mathbb{R}.
• En logaritmos (ejemplo: ln(x-1)): el logaritmo solo existe si lo de dentro es positivo; entonces, x-1 > 0, resultando en un dominio de (1, +infinito).
• En funciones exponenciales: el dominio es todo &mathbb{R}.

Puntos de Corte con los Ejes

Para hallar los puntos de corte con los ejes, se evalúa:

• Eje X: se iguala y = 0.
• Eje Y: se iguala x = 0.

Continuidad y Derivabilidad

Estudio de la Continuidad

Para la continuidad, es necesario estudiarla en los puntos de ruptura y en los puntos que no pertenecen al dominio. Se verifica si:

f(0) = lim_x→0− = lim_x→0+

Si estos valores son iguales, la función es continua; de lo contrario, no lo es.

Derivabilidad

Para comprobar la derivabilidad, se deben derivar ambas ramas de la función y verificar si el resultado es el mismo en el punto de unión.

Asíntotas y Comportamiento de la Función

Asíntotas

• Verticales: Se analizan los puntos fuera del dominio para ver si son válidos; si lo son, hay una asíntota vertical en esos puntos.
• Horizontales:
  • Si el grado del numerador < grado del denominador → y = 0.
  • Si el grado del numerador = grado del denominador → la asíntota es la fracción de los coeficientes principales de mayor grado.
  • Si el grado del numerador > grado del denominador → no hay asíntota horizontal.
• Oblicuas: Aparecen cuando el grado del numerador = grado del denominador + 1. Se resuelven mediante una división como en primaria.

Nota: No puede haber asíntota horizontal y oblicua a la vez. Puede haber varias verticales. La horizontal puede ser distinta en +∞ y −∞.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se iguala la derivada a 0 para obtener los puntos críticos.
3. Se estudia el signo de la derivada en los intervalos a la izquierda y derecha de esos puntos mediante una línea real.
4. Se determinan las zonas donde la función crece y donde decrece.

Resolución de Indeterminaciones

• 0/0: Se factoriza y se simplifica la expresión.
• Infinito/Infinito: Se divide todo entre la mayor potencia (ejemplo: x²).

Problema de Estadística: Intervalos de Confianza

A partir de una muestra de 100 individuos en los que se ha estudiado una determinada característica, se ha estimado un intervalo para la media poblacional de (160; 168). Si la varianza de los datos es 200, ¿con qué nivel de confianza se hizo la estimación del intervalo?

Resolución Paso a Paso

La fórmula del Intervalo de Confianza (IC) para μ es: x̄ ± z_α/2 · (σ / √n), donde σ es la raíz de la varianza.

1. Calculamos la media muestral (x̄):
x̄ = (160 + 168) / 2 = 164

2. Calculamos el Error (E):
Error = z_α/2 · (√varianza / √n)
Como el intervalo es (160, 168), el error es la distancia de la media al extremo: 168 - 164 = 4.

3. Despejamos z_α/2:
4 = z_α/2 · (√200 / √100)
4 = z_α/2 · (14,14 / 10)
4 = z_α/2 · 1,414
z_α/2 &approx; 2,83

4. Buscamos la probabilidad asociada:
P(Z < 2,83) = 1 - α/2 = 0,9977 (Nota: el texto original menciona 2,93, pero el cálculo previo arroja 2,83).

5. Calculamos el nivel de significación (α):
1 - α/2 = 0,9977
α/2 = 0,0023
α = 0,0023 · 2 = 0,0046

El nivel de confianza es (1 - α) · 100 = 99,54%.