Distribución Normal, Propiedades de los Estimadores y Fundamentos de Econometría

Características de la Distribución Normal

• 1. Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.
• 2. Entre la media y dos desviaciones típicas existe aproximadamente el 95% de probabilidad.
• 3. La función de densidad es simétrica (la moda, la mediana y la media μ coinciden) y se sitúan en el centro.

P[ = μ] = 0. La probabilidad de que la media muestral sea igual a la poblacional es 0,0.

Estimadores Estadísticos

Son funciones de la muestra y, por tanto, estadísticos. Todo estimador es un estadístico, pero no todo estadístico es necesariamente un estimador (Estimador = estadístico; Estadístico ≠ estimador). Entre los estadísticos básicos destacan la media, la mediana, la varianza, el coeficiente de variación (CV), entre otros.

Propiedades Deseables de los Estimadores

1. Ser insesgado: Diremos que es un estimador insesgado de θ si la esperanza de es θ, es decir, ] = θ.
   Nota: La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, pero la varianza muestral no es un estimador insesgado de la varianza poblacional; sin embargo, sí lo es la cuasivarianza muestral.
2. Consistencia: Se dice que un estimador es consistente si se cumple que = 0. Es decir, a medida que se incrementa el tamaño muestral, la diferencia entre el estimador y el parámetro será menor que cualquier número ( .
3. Eficiencia: Se emplea para comparar estimadores. Si tenemos dos estimadores, y , de un mismo parámetro θ, diremos que es más eficiente que si se cumple que Var( ) < Var( ).
   Se puede comprobar que la varianza muestral es más eficiente que la cuasivarianza muestral a la hora de estimar la varianza poblacional. Aun así, se prefiere la cuasivarianza muestral como estimador de la varianza poblacional por su condición de estimador insesgado.
4. Suficiencia: Diremos que es un estimador suficiente del parámetro θ si dicho estimador basta por sí solo para estimar θ, o bien, si proporciona la misma información que la muestra completa.

¿Por Qué las Propiedades Asintóticas?

1. La insesgadez, la eficiencia y el error cuadrático medio (E.C.M.) son propiedades relacionadas con la distribución muestral de los estimadores.
2. Estas propiedades no dependen del tamaño de la muestra.
3. Sin embargo, en muchos problemas econométricos resulta imposible encontrar estimadores con estas características para muestras pequeñas.
4. En estos casos, los econometras suelen justificar un estimador sobre la base de su distribución en muestras extremadamente grandes. A esto se le denomina propiedades asintóticas.
5. La distribución muestral de la mayoría de los estimadores cambia a medida que se modifica el tamaño de la muestra.
6. La mejora de las propiedades de un estimador puede afectar a la insesgadez, a la eficiencia o a ambas.
7. La varianza de la distribución asintótica de recibe el nombre de varianza asintótica de .
8. Si b* es consistente y su varianza asintótica es menor que la de todos los estimadores consistentes, diremos que b* es asintóticamente eficiente.

Tipos de Datos en Econometría

• Datos transversales: Observaciones recopiladas en un único momento del tiempo sobre distintos individuos o entidades.
• Datos de serie temporal: Observaciones recopiladas a lo largo de distintos momentos del tiempo sobre un mismo individuo o fenómeno.
• Perturbación aleatoria: Diferencia entre las observaciones reales y los valores medios esperados de X_2t.

Modelos Econométricos: Función Poblacional frente a Función Muestral

Función Poblacional / Teórica

Presenta parámetros fijos (β₁, β₂) que, por tanto, no tienen distribución de probabilidad:

Y_t = β₁ + β₂X_2t + ε_t

E(Y_t / X_t) = β₁ + β₂X_2t, por tanto, ε_t = Y_t - E(Y_t / X_t)

Función Estimada / Muestral

Está compuesta por estimadores ( , ) que, al depender de la muestra, sí poseen distribución de probabilidad:

Y = + X_2t + e_t

= + X_2t, por tanto, e_t = Y_t -