Diferencias entre pasatiempo, problema y ejercicio matemático y fases de Polya para resolverlos

¿Qué diferencias existen entre pasatiempo, problema o ejercicio?

Pasatiempo

• No siempre tiene enunciado; si lo tiene, este expresa las reglas para su realización.
• El objetivo del pasatiempo es “pasar el tiempo”: se trata de un entretenimiento lúdico.
• Contexto educativo: contexto lúdico y fuera del ambiente escolar.

Problema

Descripción: Consta de un enunciado donde aparecen los datos y las relaciones entre estos.

• Constituye una situación incierta que provoca una conducta tendente a hallar un resultado que dé respuesta a esa incertidumbre.
• Los objetivos se recogen en el currículo. El problema busca la elaboración de estrategias que permitan desarrollar y entender los conceptos aprendidos, siendo el cálculo una mera herramienta de trabajo y no una finalidad.
• Contexto interno: la historia del enunciado; contexto educativo: clase.
• Las características son:

• Situación inicial: donde se nos presentan los datos conocidos.
• Situación final u objetivo.
• Establecer relaciones entre los datos conocidos y las pautas y restricciones empleadas en la resolución.
• Se desarrollan en un contexto matemático.

Ejercicio

• No siempre tiene enunciado; y si lo tiene, en muchos casos no aporta datos sobre el mismo (son del tipo «completa», «realiza el siguiente ejercicio…»).
• Los objetivos se recogen en el currículo. El ejercicio trata de obtener una aplicación directa de la materia trabajada, donde predomina el cálculo sobre el concepto.
• Contexto educativo: clase.

Fases en la resolución de un problema matemático según la teoría de Polya

1. Comprensión del problema

Consiste en la correcta interpretación del enunciado, identificando la información relevante y asegurándose de que no es contradictoria.

Dificultades que puede encontrar el alumno:

• Desconocimiento del vocabulario.
• Dificultad de atención; enunciados demasiado largos o complejos.
• Mala interpretación; la situación que plantea el problema no le es familiar.

¿Cómo ayudar al alumno?

• ¿Entiendes todo lo que dice?
• ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?
• ¿Distingues cuáles son los datos?
• ¿Sabes a qué quieres llegar?
• ¿Hay suficiente información?
• ¿Hay información extraña?
• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

2. Elaboración de un plan

Consiste en la utilización de estrategias heurísticas (operaciones mentales útiles) para diseñar un camino hacia la solución.

Ejemplos de estrategias heurísticas:

• Resolver antes un problema similar más sencillo.
• Particularizar.
• Generalizar.
• Dividir el problema en partes.
• Empezar por el final.
• Reducción al absurdo.
• Ensayo y error.
• Sistematizar el trabajo.
• Hacer un dibujo, un diagrama, una tabla…

Dificultades que puede encontrar el alumno:

• Falta de confianza en las propias posibilidades.
• Falta de práctica: carencia de herramientas heurísticas.
• Fallo en los conocimientos previos: conceptos mal aprendidos o desconocidos.

3. Ejecución del plan

Aplicación de las operaciones y técnicas escogidas para llegar a una solución.

• En algunos problemas la solución no es lo más interesante; el proceso de resolución puede resultar apasionante y divertido en sí mismo.
• Al ir avanzando, el camino se bifurcará una y otra vez. Antes de continuar, hay que verificar cada paso que se da.
• Habrá que decidir qué camino seguir, teniendo siempre presente para qué hacemos lo que hacemos; si un camino no tiene salida, habrá que dejarlo e iniciar otro.

Dificultades que puede encontrar el alumno:

• Falta de dominio en los procedimientos y técnicas de cálculo.
• Problemas con las unidades de medida de las magnitudes.

4. Examen de la solución obtenida

• Una vez hemos llegado a la solución hay que comprobar si es correcta y explicar el resultado.
• Volveremos a leer el enunciado, analizar lo que se pedía y decidir si la respuesta que damos es lógica y posible.
• Es aconsejable repasar el proceso paso a paso.

Clasificación del problema según el campo y la tarea requerida

Respecto al campo de conocimiento, se trata de un problema aritmético; en cuanto a la tarea requerida para su resolución, es un problema cuantitativo, porque para alcanzar la solución el resolutor debe emplear procedimientos de cálculo matemático. El procedimiento seguido indica que se trata de un problema algorítmico, pues es necesario un seguimiento de una secuencia de operaciones cerradas; por último, según el número de soluciones, se trata de un problema cerrado ya que la solución es unívoca.